Xét tam giác ABC có

BC ⊥ AB' 

B'C'⊥ AB' 

=> BC // B'C'.

Xét tam giác ABC có: BC // B'C' (cmt)

=> \(\dfrac{AB}{AB'}=\dfrac{BC}{B'C'}\) (hệ quả Thales)

=> \(\dfrac{x}{x+h}=\dfrac{a}{a'}\Rightarrow a'x=a\left(x+h\right)\Rightarrow a'x-ax=ah\Rightarrow x\left(a'-a\right)=ah\)

Hay \(x=\dfrac{ah}{a'-a}\)

Vậy \(x=\dfrac{ah}{a'-a}\) (đpcm)

Xét tam giác ADB, ta có: MN // AB (GT)

=>$\frac{DN}{DB}=\frac{MN}{AB}$ (hệ quả Thales) (1)

Xét tam giác ACB, ta có: PQ // AB (GT)

=> $\frac{CQ}{CB}=\frac{PQ}{AB}$ (hệ quả Thales) (2)

Lại có: NQ // AB (GT)

            AB // CD (GT)

=> NQ // CD

Xét BDC, ta có: NQ // CD (cmt)

=> $\frac{DN}{DB}=\frac{CQ}{CB}$ (định lí Thales) (3)

Từ (1), (2), (3) => $\frac{MN}{AB}=\frac{PQ}{AB}$hay MN = PQ 

Vậy MN = PQ (đpcm)

Kẻ trung tuyến AD

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên điểm G nằm trên cạnh AD.

=> $\frac{AG}{AD}=\frac{2}{3}$ hay $AG=\frac{2}{3}AD$

Xét tam giác ABC có MG//AB (GT) 

=> $\frac{AG}{AD}=\frac{BM}{BD}=\frac{2}{3}$(định lý Thales)

Lại có BD=CD (AD là đường trung tuyến)

=>$\frac{BM}{BC}=\frac{BM}{2BD}=\frac{2}{2.3}=\frac{1}{3}$

Xét tam giác DOC có : AB//DC (GT)

=> \(\dfrac{AO}{OC}=\dfrac{BO}{OD}\) (hệ quả Thales)

=> OA.OD = OB.OC (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

Vậy OA.OD = OB.OC (đpcm)

Xét tam giác ABC có: AB//FD (GT)

=> \(\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{BD}{BC}\) (định lý Thales) (1)

Xét tam giác ABC có: AC//ED (GT)

=> \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{CD}{BC}\) (định lý Thales) (2)

Từ (1) và (2) => \(\dfrac{AE}{AB}+\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{BD}{BC}+\dfrac{CD}{BC}=\dfrac{BD+CD}{BC}=\dfrac{BC}{BC}=1\)

Vậy \(\dfrac{AE}{AB}+\dfrac{AE}{AC}=1\) (đpcm)