Vũ Gia Bình
Giới thiệu về bản thân
Xét tam giác ABCABC có BC⊥ AB′BC⊥ AB′ và B′C′⊥AB′B′C′⊥AB′ nên suy ra BCBC // B′C′B′C′.
Theo hệ quả định lí Thalès, ta có: ABAB′ =BCBC′AB′AB =BC′BC
Suy ra xx+h =aa′x+hx =a′a
a′.x=a(x+h)a′.x=a(x+h)
a′.x−ax=aha′.x−ax=ah
x(a′−a)=ahx(a′−a)=ah
x=aha′ −ax=a′ −aah.
Trong tam giác ADBADB, ta có: MNMN // ABAB (gt)
Suy ra DNDB =MNABDBDN =ABMN (hệ quả định lí Thalès) (1)
Trong tam giác ACBACB, ta có: PQPQ // ABAB (gt)
Suy ra CQCB =PQABCBCQ =ABPQ (hệ quả định lí Thalès) (2)
Lại có: NQNQ // ABAB (gt); ABAB // CDCD (gt)
Suy ra NQNQ // CDCD
Trong tam giác BDCBDC, ta có: NQNQ // CDCD (chứng minh trên)
Suy ra DNDB =CQCBDBDN =CBCQ (định lí Thalès) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra MNAB =PQAB hayABMN =ABPQ hayMN = PQ$ (đpcm).
Khi đó, ADAD là đường trung tuyến của tam giác ABCABC.
Vì GG là trọng tâm của tam giác ABCABC nên điểm GG nằm trên cạnh ADAD.
Ta có AGAD=23ADAG=32 hay AG=23ADAG=32AD.
Vì MGMG // ABAB, theo định lí Thalès, ta suy ra: AGAD=BMBD=23ADAG=BDBM=32.
Ta có BD=CDBD=CD (vì DD là trung điểm của cạnh BCBC) nên BMBC=BM2BD=22.3=13BCBM=2BDBM=2.32=31.
Do đó BM=13BCBM=31BC (đpcm).
Khi đó, ADAD là đường trung tuyến của tam giác ABCABC.
Vì GG là trọng tâm của tam giác ABCABC nên điểm GG nằm trên cạnh ADAD.
Ta có AGAD=23ADAG=32 hay AG=23ADAG=32AD.
Vì MGMG // ABAB, theo định lí Thalès, ta suy ra: AGAD=BMBD=23ADAG=BDBM=32.
Ta có BD=CDBD=CD (vì DD là trung điểm của cạnh BCBC) nên BMBC=BM2BD=22.3=13BCBM=2BDBM=2.32=31.
Do đó BM=13BCBM=31BC (đpcm).
ABCD là hình thang suy ra ABAB // CDCD.
Áp dụng hệ quả thales ta có OA trên OC = OB trên OD
suy ra OA.OD = OB.OC
Áp dụng định lí Thalès trong tam giác
DE // ACAC nên AE trên AB = CD trên BC
DF//AC nên AF trên AC = BD trên BC
khi đó AE trên AB + AF trên AC=CD trên BC+BD trên BC = BC trên BC =1
AEAB=CDBC