Vơi $n$ đường thẳng cắt nhau tại một điểm, ta có $2n$ tia chung gồc.

Chọn $1$ tia trong $2n$ tia chung gốc đó, tạo với $2n-1$ tia còn lại, ta được $2n-1$ (góc).

Nhưng vì mỗi góc đã được tính hai lần nên số góc thực tế là 

2n.(2n−1)2=n.(2n−1)22n.(2n−1)​=n.(2n−1) (góc).

Vì có $n$ đường thẳng nên sẽ có $n$ góc bẹt.

Do đó số góc khác góc bẹt là $n.(2n-1)-n=n.(2n-2)$ (góc).

Mỗi góc trong số $n.(2n-2)$ góc đó đều có một góc đối đỉnh với nó.

Suy ra số cặp góc đối đỉnh là n(2n−2)2=n.(n−1)2n(2n−2)​=n.(n−1).

Vậy với $n$ đường thẳng cắt nhau tại một điểm, ta được $n.(n-1)$ cặp góc đối đỉnh.

Làm như vậy với $2n$ tia chung gốc, ta được $2n.(2n-1)$ (góc).

Có BOC^BOC và BOD^BOD là hai góc kề bù nên BOC^+BOD^=180∘BOC+BOD=180∘.

Vì $OM$ là tia phân giác của BOC^BOC nên COM^=MOB^=12BOC^COM=MOB=21​BOC;

$ON$ là tia phân giác của góc BOD^BOD nên DON^=NOB^=12BOD^.DON=NOB=21​BOD.

Mà tia $OB$ nằm giữa tia $OM$ và $ON$.

Suy ra MON^=MOB^+NOB^=12(BOC^+BOD^)=12.180∘=90∘MON=MOB+NOB=21​(BOC+BOD)=21​.180∘=90∘.

Mặt khác MOP^=90∘MOP=90∘ (tia $OP$ vuông góc $OM$ ).

Suy ra MON^+MOP^=90∘+90∘=180∘MON+MOP=90∘+90∘=180∘.

Mà hai tia $OP$ và $ON$ nằm trền hai nửa mặt phẳng bờ $OM$ nên hai tia $OP$ và $ON$ là hai tia đối nhau.

Kết hợp $OC$ và $OD$ là hai tia đối nên suy ra COP^COP và DON^DON là hai góc đối đỉnh.

vì xON và x'ON kề bù nên xON + x'ON = 180

Mà xON = 90 nên x'ON = 90

Vì tia $OP$ là tia phân giác của góc x'ON nên x'OP = PON = 1/2 x'ON = 45

x′ON^Mặt khác hai tia $OP$ và $OM$ thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ xx′xx′ nên MOP = PON + xON + xOM = 45 + 90 + 45 = 180

Suy ra hai tia $OP$ và $OM$ là hai tia đối nhau. Mà $Ox$ và Ox′Ox′ là hai tia đối nhau.

MOP^=PON^+xON^+xOM^=45∘+90∘+45∘=180∘Suy ra xOM và x'OP là 2 góc đối đỉnh

Vi $O$ nằm trên đường thẳng xx′xx′ nên hai tia $Ox$ và Ox′Ox′ là hai tia đối nhau. (1)

Do $ON$ và $OM$ thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ $Ox$ nên tia $Ox$ nằm giữa $ON$ và $OM$.

Suy ra xOM và xON = 140 + 40 = 180

Vậy xOM và xON là hai góc kề bù.

Suy ra hai tia $OM$ và $ON$ đối nhau. (2)

Từ (1) và (2), suy ra xON và xOM là hai góc đối đỉnh.

Ta có: $\widehat{AOC}=\widehat{BO\text{D}}$ (hai góc đối đỉnh) mà  $\widehat{AOC}+\widehat{BOD}=100°$ nên $\widehat{AOC}=\widehat{BO\text{D}}=100°:2=50°$.

Hai góc AOC và BOC kề bù nên $\widehat{\mathrm{BOC}}=180°-50°=130°.$Do đó $\widehat{AO\text{D}}=\widehat{BOC}=130°$ (hai góc đối đỉnh).