Có BOC^BOC và BOD^BOD là hai góc kề bù nên BOC^+BOD^=180∘BOC+BOD=180∘.

Vì $OM$ là tia phân giác của BOC^BOC nên COM^=MOB^=12BOC^COM=MOB=21​BOC;

$ON$ là tia phân giác của góc BOD^BOD nên DON^=NOB^=12BOD^.DON=NOB=21​BOD.

Mà tia $OB$ nằm giữa tia $OM$ và $ON$.

Suy ra MON^=MOB^+NOB^=12(BOC^+BOD^)=12.180∘=90∘MON=MOB+NOB=21​(BOC+BOD)=21​.180∘=90∘.

Mặt khác MOP^=90∘MOP=90∘ (tia $OP$ vuông góc $OM$ ).

Suy ra MON^+MOP^=90∘+90∘=180∘MON+MOP=90∘+90∘=180∘.

Mà hai tia $OP$ và $ON$ nằm trền hai nửa mặt phẳng bờ $OM$ nên hai tia $OP$ và $ON$ là hai tia đối nhau.

Kết hợp $OC$ và $OD$ là hai tia đối nên suy ra COP^COP và DON^DON là hai góc đối đỉnh.

Vơi $n$ đường thẳng cắt nhau tại một điểm, ta có $2n$ tia chung gồc.

Chọn $1$ tia trong $2n$ tia chung gốc đó, tạo với $2n-1$ tia còn lại, ta được $2n-1$ (góc).

Làm như vậy với $2n$ tia chung gốc, ta được $2n.(2n-1)$ (góc).

Nhưng vì mỗi góc đã được tính hai lần nên số góc thực tế là 2n.(2n−1)2=n.(2n−1)22n.(2n−1)​=n.(2n−1) (góc).

Vì có $n$ đường thẳng nên sẽ có $n$ góc bẹt.

Do đó số góc khác góc bẹt là $n.(2n-1)-n=n.(2n-2)$ (góc).

Mỗi góc trong số $n.(2n-2)$ góc đó đều có một góc đối đỉnh với nó.

Suy ra số cặp góc đối đỉnh là n(2n−2)2=n.(n−1)2n(2n−2)​=n.(n−1).

Vậy với $n$ đường thẳng cắt nhau tại một điểm, ta được $n.(n-1)$ cặp góc đối đỉnh.

Vi xON^xON và x′ON^x′ON kề bù nên xON^+x′ON^=180∘xON+x′ON=180∘.

Mà xON^=90∘xON=90∘ nên x′ON^=90∘x′ON=90∘.

Vì tia $OP$ là tia phân giác của góc x′ON^x′ON nên x′OP^=PON^=12x′ON^=45∘x′OP=PON=21​x′ON=45∘.

Mặt khác hai tia $OP$ và $OM$ thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ xx′xx′ nên MOP^=PON^+xON^+xOM^=45∘+90∘+45∘=180∘MOP=PON+xON+xOM=45∘+90∘+45∘=180∘.

Suy ra hai tia $OP$ và $OM$ là hai tia đối nhau. Mà $Ox$ và Ox′Ox′ là hai tia đối nhau.

Suy ra xOM^xOM và x′OP^x′OP là hai góc đối đỉnh.

Vì O nằm trên đường thẳng xx' nên hai tia Ox và Ox' là hai tia đối nhau.(1)

Do ON và OM thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ Ox nằm giữa ON và OM

=> ∠xOm + ∠xON = 140 + 40 = 180

Vậy ∠xOm và ∠xOM là hai góc kề bù 

=> hai tia OM và ON đối nhau(2)

Từ (1) và (2) => ∠xON và ∠x'OM là hai góc đối đỉnh

Rõ ràng các góc $\angle AOD,\angle BOC$ được đề cập là các góc không lớn hơn 180o180o.
Khi đó ta thấy rằng $\angle AOD,\angle BOC$ là hai góc đối đỉnh nên $\angle AOD=\angle BOC$, từ đó kết hợp giả thiết ta thu được 2∠AOD=100o2∠AOD=100o hay ∠AOD=∠BOC=50o∠AOD=∠BOC=50o
Khi đó ∠BOD=∠AOC=180o−∠50o=130o∠BOD=∠AOC=180o−∠50o=130o