Tứ giác 

D

K

M

N

DKMN có 

D

^

=

K

^

=

N

^

=

90

∘

D

 = 

K

 = 

N

 =90 

∘

  nên là hình chữ nhật.

 

b) Vì 

D

K

M

N

DKMN là hình chữ nhật nên 

D

F

DF // 

M

H

MH

 

Xét 

Δ

K

F

M

ΔKFM và 

Δ

N

M

E

ΔNME có:

 

     

K

^

=

N

^

=

90

∘

K

 = 

N

 =90 

∘

 

 

     

F

M

=

M

E

FM=ME ( giả thiết)

 

     

K

M

F

^

=

E

^

KMF

 = 

E

  (đồng vị)

 

Vậy 

Δ

K

F

M

=

Δ

N

M

E

ΔKFM=ΔNME (cạnh huyền - góc nhọn)

 

Suy ra 

K

F

=

M

N

KF=MN (hai cạnh tương ứng) mà 

M

N

=

D

K

MN=DK nên 

D

F

=

2

D

K

DF=2DK và 

M

H

=

2

M

N

MH=2MN.

 

Do đó 

D

F

=

M

H

DF=MH.

 

Tứ giác 

D

F

M

H

DFMH có 

D

F

DF // 

M

H

,

D

F

=

M

H

MH,DF=MH nên là hình bình hành.

 

Do đó, hai đường chéo 

D

M

,

F

H

DM,FH cắt nhau tại trung điểm 

O

O của mỗi đường hay 

F

,

O

,

H

F,O,H thẳng hàng.

 

c) Để hình chữ nhật 

D

K

M

N

DKMN là hình vuông thì 

D

K

=

D

N

DK=DN 

(

1

)

(1)

 

Mà 

D

K

=

1

2

D

F

DK= 

2

1

 

 DF và 

D

N

=

K

M

=

N

E

DN=KM=NE nên 

D

N

=

1

2

D

E

DN= 

2

1

 

 DE 

(

2

)

(2)

 

Từ 

(

1

)

,

(

2

)

(1),(2) suy ra 

D

F

=

D

E

DF=DE.

 

Vậy 

Δ

D

F

E

ΔDFE cần thêm điều kiên cân tại 

D

D.

 

Vì 

A

B

=

2

B

C

AB=2BC suy ra 

B

C

=

A

B

2

=

A

D

BC= 

2

AB

 

 =AD

 

A

B

C

D

ABCD là hình chữ nhật nên 

A

B

=

D

C

AB=DC suy ra 

1

2

A

B

=

1

2

D

C

2

1

 

 AB= 

2

1

 

 DC do đó 

A

I

=

D

K

=

A

D

AI=DK=AD.

 

Tứ giác 

A

I

K

D

AIKD có 

A

I

AI // 

D

K

,

A

I

=

D

K

DK,AI=DK nên 

A

I

K

D

AIKD là hình bình hành.

 

Lại có 

A

D

=

A

I

AD=AI nên 

A

I

K

D

AIKD là hình thoi.

 

Mà 

I

A

D

^

=

90

∘

IAD

 =90 

∘

  do đó 

A

I

K

D

AIKD là hình vuông.

 

Chứng minh tương tự cho tứ giác 

B

I

K

C

BIKC

 

b) Vì 

A

I

K

D

AIKD là hình vuông nên 

D

I

DI là tia phân giác 

A

D

K

^

ADK

  hay 

I

D

K

^

=

45

∘

IDK

 =45 

∘

 .

 

Tương tự 

I

C

D

^

=

45

∘

ICD

 =45 

∘

 .

 

Δ

I

D

C

ΔIDC cân có 

D

I

C

^

=

90

∘

DIC

 =90 

∘

  nên là tam giác vuông cân.

 

c) Vì 

A

I

K

D

,

B

C

K

I

AIKD,BCKI là các hình vuông nên hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên 

S

I

=

S

K

=

D

I

2

SI=SK= 

2

DI

 

  và 

I

R

=

R

K

=

I

C

2

IR=RK= 

2

IC

 

 

 

Suy ra 

I

S

K

R

ISKR là hình thoi.

 

Lại có 

D

I

C

^

=

90

∘

DIC

 =90 

∘

  nên 

I

S

K

R

ISKR là hình v

ABCD là hình vuông nên 

A

B

=

B

C

=

C

D

=

D

A

AB=BC=CD=DA

 

Mà 

A

M

=

B

N

=

C

P

=

D

Q

AM=BN=CP=DQ.

 

Trừ theo vế ta được 

A

B

−

A

M

=

B

C

−

B

N

=

C

D

−

C

P

=

D

A

−

D

Q

AB−AM=BC−BN=CD−CP=DA−DQ

 

Suy ra 

M

B

=

N

C

=

P

D

=

Q

A

MB=NC=PD=QA

 

b) Xét 

Δ

Q

A

M

ΔQAM và 

Δ

N

C

P

ΔNCP có:

 

A

^

=

C

^

=

90

∘

A

 = 

C

 =90 

∘

 

 

A

Q

=

N

C

AQ=NC (chứng minh trên)

 

A

M

=

C

P

AM=CP (giả thiết)

 

Suy ra 

Δ

Q

A

M

=

Δ

N

C

P

ΔQAM=ΔNCP (c.g.c)

 

c) Từ 

Δ

Q

A

M

=

Δ

N

C

P

ΔQAM=ΔNCP suy ra 

N

P

=

M

Q

NP=MQ (hai cạnh tương ứng).

 

Chứng minh tương tự câu b ta có 

Δ

Q

A

M

=

Δ

P

D

Q

ΔQAM=ΔPDQ và 

Δ

Q

A

M

=

Δ

M

B

N

ΔQAM=ΔMBN.

 

Khi đó 

⇒

M

Q

=

P

Q

,

M

N

=

M

Q

⇒MQ=PQ,MN=MQ và 

A

M

Q

^

=

D

Q

P

^

AMQ

 

 = 

DQP

 

 .

 

Mà 

A

M

Q

^

+

A

Q

M

^

=

90

∘

AMQ

 

 + 

AQM

 

 =90 

∘

  suy ra 

D

Q

P

^

+

A

Q

M

^

=

90

∘

DQP

 

 + 

AQM

 

 =90 

∘

 .

 

Do đó, 

M

Q

P

^

=

90

∘

MQP

 

 =90 

∘

 .

 

Tứ giác 

M

N

P

Q

MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi, lại có 

M

Q

P

^

=

90

∘

MQP

 

 =90 

∘

  nên là hình vuông

Tứ giác 

A

M

C

K

AMCK có hai đường chéo 

A

C

,

M

K

AC,MK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

 

Δ

A

B

C

ΔABC vuông tại 

A

A có 

A

M

AM là đường trung tuyến nên 

A

M

=

M

C

=

M

B

AM=MC=MB.

 

Vậy hình bình hành 

A

M

C

K

AMCK có 

A

M

=

M

C

AM=MC nên là hình thoi.

 

b) Vì 

A

M

C

K

AMCK là hình thoi nên 

A

K

AK // 

B

M

BM và 

A

K

=

M

C

=

B

M

AK=MC=BM.

 

Tứ giác 

A

K

M

B

AKMB có 

A

K

AK // 

B

M

,

A

K

=

B

M

BM,AK=BM nên là hình bình hành.

 

c) Để 

A

M

C

K

AMCK là hình vuông thì cần có một góc vuông hay 

A

M

⊥

M

C

AM⊥MC.

 

Khi đó 

Δ

A

B

C

ΔABC có 

A

M

AM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân tại 

A

A.

 

Vậy 

Δ

A

B

C

ΔABC vuông cân tại 

A

A thì 

A

M

C

K

AMCK là hình vuông.

ΔABC vuông cân nên 

B

^

=

C

^

=

45

∘

.

B

 = 

C

 =45 

∘

 .

 

Δ

B

H

E

ΔBHE vuông tại

H

H có 

B

E

H

^

+

B

^

=

90

∘

BEH

 + 

B

 =90 

∘

 

 

Suy ra 

B

E

H

^

=

90

∘

−

45

∘

=

45

∘

BEH

 =90 

∘

 −45 

∘

 =45 

∘

  nên 

B

^

=

B

E

H

^

=

45

∘

B

 = 

BEH

 =45 

∘

 .

 

Vậy 

Δ

B

E

H

ΔBEH vuông cân tại 

H

.

H.

 

b) Chứng minh tương tự câu a ta được 

Δ

C

F

G

ΔCFG vuông cân tại 

G

G nên 

G

F

=

G

C

GF=GC và 

H

B

=

H

E

HB=HE

 

Mặt khác 

B

H

=

H

G

=

G

C

BH=HG=GC suy ra 

E

H

=

H

G

=

G

F

EH=HG=GF và 

E

H

EH // 

F

G

FG (cùng vuông góc với 

B

C

)

BC)

 

Tứ giác 

E

F

G

H

EFGH có 

E

H

EH // 

F

G

,

E

H

=

F

G

FG,EH=FG nên là hình bình hành.

 

Hình bình hành 

E

F

G

H

EFGH có một góc vuông 

H

^

H

  nên là hình chữ nhật

 

Hình chữ nhật 

E

F

G

H

EFGH có hai cạnh kề bằng nhau 

E

H

=

H

G

EH=HG nên là hình vuông

ΔABC vuông cân nên 

B

^

=

C

^

=

45

∘

.

B

 = 

C

 =45 

∘

 .

 

Δ

B

H

E

ΔBHE vuông tại

H

H có 

B

E

H

^

+

B

^

=

90

∘

BEH

 + 

B

 =90 

∘

 

 

Suy ra 

B

E

H

^

=

90

∘

−

45

∘

=

45

∘

BEH

 =90 

∘

 −45 

∘

 =45 

∘

  nên 

B

^

=

B

E

H

^

=

45

∘

B

 = 

BEH

 =45 

∘

 .

 

Vậy 

Δ

B

E

H

ΔBEH vuông cân tại 

H

.

H.

 

b) Chứng minh tương tự câu a ta được 

Δ

C

F

G

ΔCFG vuông cân tại 

G

G nên 

G

F

=

G

C

GF=GC và 

H

B

=

H

E

HB=HE

 

Mặt khác 

B

H

=

H

G

=

G

C

BH=HG=GC suy ra 

E

H

=

H

G

=

G

F

EH=HG=GF và 

E

H

EH // 

F

G

FG (cùng vuông góc với 

B

C

)

BC)

 

Tứ giác 

E

F

G

H

EFGH có 

E

H

EH // 

F

G

,

E

H

=

F

G

FG,EH=FG nên là hình bình hành.

 

Hình bình hành 

E

F

G

H

EFGH có một góc vuông 

H

^

H

  nên là hình chữ nhật

 

Hình chữ nhật 

E

F

G

H

EFGH có hai cạnh kề bằng nhau 

E

H

=

H

G

EH=HG nên là hình vuông