a) Tứ giác DKMN là hình chữ nhật. b) Ta có DM là đường trung tuyến của tam giác DEF, nên O là trung điểm của DM. Vì MN là đường vuông góc kẻ từ M đến DE, nên MN song song với DF. Do đó, ta có hai đường thẳng MN và DF là song song và cắt nhau tại M. Vì N là trung điểm của MH, nên ta có MN cắt MH tại N sao cho MN = NH. Vậy, ta có tứ giác DKMN là hình chữ nhật và ta có 3 điểm H, O, F thẳng hàng. c) Để tứ giác DKMN là hình vuông, ta cần thêm điều kiện là DE = DF (hai cạnh góc vuông của tam giác DEF bằng nhau).

a,Vì ABCD là hình chữ nhật, AB = 2BC, I là trung điểm AB, K là trung điểm CD nên AI = IB = KC = KD = BC. Hơn nữa, AI // KC và AI ⊥ AD, KC ⊥ AD. Do đó, AIKD là hình chữ nhật có AI = AD (=BC), vậy AIKD là hình vuông. Tương tự, BIKC là hình chữ nhật có BI = BC, vậy BIKC cũng là hình vuông. b) Trong hình chữ nhật ABCD, ta có DC = AB = 2BC. Vì K là trung điểm DC nên DK = KC = BC. Trong tam giác DIC, ta có DI² = AD² + AI² = BC² + BC² = 2BC² và DC² = (2BC)² = 4BC². Áp dụng định lý Pytago đảo, ta thấy DI² + IC² = 2BC² + BC² = 3BC² ≠ DC². Tuy nhiên, tam giác DIC là tam giác vuông tại I vì (do AIKD và BIKC là hình vuông). Mặt khác, DC = 2BC và IC = BC, nên DC = 2IC. Tam giác DIC vuông tại I có DC = 2IC, nên và . Do đó, tam giác DIC không phải là tam giác vuông cân.

Để chứng minh , ta có thể sử dụng tính chất của hình vuông. Vì , ta có thể kết luận rằng các cạnh của hình vuông ABCD là bằng nhau. Do đó, . b) Để chứng minh , ta có thể sử dụng tính chất của hình vuông. Vì , ta có thể kết luận rằng hai tam giác này là đồng dạng, tức là chúng có cùng ba cạnh và ba góc. Do đó, . c) Để chứng minh MNPQ là hình vuông, ta có thể sử dụng tính chất của hình vuông. Vì và , ta có thể kết luận rằng MNPQ là hình vuông

a,Ta có: AM = MC (đường trung tuyến trong tam giác vuông) - Vì I là trung điểm của AC nên AI = IC - Ta có IK = IM (theo giả thiết) nên AK = KC (cộng với) - Vậy AMCK là hình thoi (2 đường chéo bằng nhau) b, Chứng minh AKMB là hình bình hành: - Ta có: AM = MB (đường trung tuyến trong tam giác vuông) - Ta đã chứng minh AK = KC ở phần a - Vậy AKMB là hình bình hành (2 cặp cạnh đối bằng nhau) c, Điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AMCK là hình vuông: - Ta có: AMCK là hình vuông khi và chỉ khi AC vuông góc với MK - Đặt H là giao điểm của AC và MK. Ta có: AH = HC (do H là trung điểm) - Vậy, tam giác ABC cần có BC = 2AB để AMCK là hình vuông.

Ta có , do đó . Vì là đường cao của tam giác vuông , nên . Vậy là tam giác vuông cân.

b) Ta có , do đó . Vì và là đường cao của tam giác vuông và , nên 

=>EFGH là hình vuông

xét OBAC có

Góc C,O,B = 90°

=> OABC là tia phân giác góc O 

=> OBAC là hình vuông