Xét tam giác ABC  có BC thuộc AB' và B'C' thuộc AB' nên suy ra BC thuộc B'C'.

Theo hệ quả định lí Thalès, ta có: AB trên AB'=BC trên BC'

Suy ra x trên x+h = a trên a'

a'.x = a(x+h)

a'.x - ax=ah

x(a'-a) =ah

x=ah trên a'-a

Trong tam giác ADB, ta có: MN //AB (gt)

Suy ra DN trên DB= MB trên AB (hệ của định lí Thalès)

Trong tâm giác ACB ,ta có PQ//AB (gt) Suy ra:CQ trên CB= PQ trên AB (hệ quả định lí Thalès)

Lại có: NQ//AB (gt);AB//CD (gt)

Suy ra: NQ//CD

Trong tam giác BCD,ta có:NQ//CD (chứng minh trên)

Suy ra DN trên DB=PQ trên AB hay MN=PQ$ (đpcm)

Lấy D là chúng điểm của cạnh BC

Khi đó,AD là đường trung tuyến của tam giác ABC

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên điểm G nằm trên cạnh AD

Ta có AG trên AD = 2phần3 hay AG= 2phần 3 AD

Vì MG//AB,theo định lí Thalès,ta suy ra:AG trên AD = BM trên BD= 2phần3

Ta có BD= CD (vì D là chung điểm của cạnh BC)nênBM trên BC= BM trên 2BD =2phần2.3= 1phần3.

Do đó BM=1phần3 BC (đpcm)

Áp dụng hệ quả định kí Thalès,ta có: OA trên OC = OB trên OD

Suy ra OA.OD=OB.OC (đpcm)

Áp dụng định lí thalès trong tâm giác:

⚡DE//AC nên AE trên AB bằng CD trên BC

⚡DF//AC nên AF trên AC bằng BD trên BC

Khi đó, AE trên AB + AF = CD trên BC = BC trên BC = 1

a) hình tam giác ABC vuông cân nên \widehat{B\,}=\widehat{C\,}={{45}^{\circ}}. Vậy tâm giác vuông cân tại H.H. vuông cân tại H.H.

b) Chứng minh tương tự câu a ta được \Delta CFGΔCFG vuông cân tại GG nên GF=GCGF=GC và HB=HEHB=HE

Mặt khác BH=HG=GCBH=HG=GC suy ra EH=HG=GFEH=HG=GF và EHEH // FGFG (cùng vuông góc với BC)BC)

Tứ giác OBAC có ba góc vuông \widehat{B\,}=\widehat{C\,}=\widehat{BOC\,}={{90}^{\circ}} 

B

 = 

C

 = 

BOC

 =90 

∘

Nên OBACOBAC là hình chữ nhật.

Mà AA nằm trên tia phân giác OMOM suy ra AB=ACAB=AC.

Khi đó OBAC là hình vuông