Gọi đường thẳng song song với AB và CD là xy. theo đề bài xy cắt AD,BD,AC,BC lần lượt tại M,N,P,Q.

Áp dụng định lí Thalès,ta có MN/AB=DM/DA

PQ/AB=CQ/CB

DM/DA=CQ/CB

Từ các tỉ lệ trên ta có: MN/AB=MN=PQ

vậy MN/AB=MN=PQ( đpcm)

Gọi I là trung điểm của AC . Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên BG=2/3BI

Vì đường thẳng d đi qua G và song song với AB nên, theo định lí Thalès, ta có 

BM/BC=BG/BI

Thay số ta có: BG=2/3 BI và tỉ lệ nên ta được BM/BC=2/3 BI=2/3

Vậy BM=2/3.

Xét hai tam giác OAB và OCD, ta có: Vì AB//CD nên các góc OAB= OCD và OBA=OCD(là các góc so le trong)

do hai tam giác OAB ~OCD( g.c.g)

nên OA/OC=OB/OD

mà OA.OD=OB.OC

vậy OA.OD=OB.OC(đpcm).

ta có ED//AC suy ra EA/AB=CD/CD(định lí Thalès trong tam giác)

FD//AB suy ra AF/AB=BD/BC(định lí Thalès trong tam giác)

suy ra AE/AB+AF/AC=CD/BC=BD/BC=BC/BC=1

xOy^=90° và om là tia phân giác nên xOm^=mOy^=45°.

AB vuông góc với Ox tại B,AC vuông góc với Oy tại C. Tứ giác OBAC là hình chữ nhật 

Trong tam giác vuông OAB,

OAB^=45°(vì Om là tia phân giác)

nên OAB^=45°.Do đó, OA=OB

Tương tự tam giác vuông OAC,OAC^=45°, nên 

OAC^=45° Do đó, OA=OC

Suy ra OB=OC

Hình chữ nhật OBAC có OB=OC nên OABC là hình vuông