ABCD là hình vuông nên 

A

B

=

B

C

=

C

D

=

D

A

AB=BC=CD=DA

 

Mà 

A

M

=

B

N

=

C

P

=

D

Q

AM=BN=CP=DQ.

 

Trừ theo vế ta được 

A

B

−

A

M

=

B

C

−

B

N

=

C

D

−

C

P

=

D

A

−

D

Q

AB−AM=BC−BN=CD−CP=DA−DQ

 

Suy ra 

M

B

=

N

C

=

P

D

=

Q

A

MB=NC=PD=QA

 

b) Xét 

Δ

Q

A

M

ΔQAM và 

Δ

N

C

P

ΔNCP có:

 

A

^

=

C

^

=

90

∘

A

 = 

C

 =90 

∘

 

 

A

Q

=

N

C

AQ=NC (chứng minh trên)

 

A

M

=

C

P

AM=CP (giả thiết)

 

Suy ra 

Δ

Q

A

M

=

Δ

N

C

P

ΔQAM=ΔNCP (c.g.c)

 

c) Từ 

Δ

Q

A

M

=

Δ

N

C

P

ΔQAM=ΔNCP suy ra 

N

P

=

M

Q

NP=MQ (hai cạnh tương ứng).

 

Chứng minh tương tự câu b ta có 

Δ

Q

A

M

=

Δ

P

D

Q

ΔQAM=ΔPDQ và 

Δ

Q

A

M

=

Δ

M

B

N

ΔQAM=ΔMBN.

 

Khi đó 

⇒

M

Q

=

P

Q

,

M

N

=

M

Q

⇒MQ=PQ,MN=MQ và 

A

M

Q

^

=

D

Q

P

^

AMQ

 

 = 

DQP

 

 .

 

Mà 

A

M

Q

^

+

A

Q

M

^

=

90

∘

AMQ

 

 + 

AQM

 

 =90 

∘

  suy ra 

D

Q

P

^

+

A

Q

M

^

=

90

∘

DQP

 

 + 

AQM

 

 =90 

∘

 .

 

Do đó, 

M

Q

P

^

=

90

∘

MQP

 

 =90 

∘

 .

 

Tứ giác 

M

N

P

Q

MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi, lại có 

M

Q

P

^

=

90

∘

MQP

 

 =90 

∘

  nên là hình vuông

Tứ giác 

A

M

C

K

AMCK có hai đường chéo 

A

C

,

M

K

AC,MK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

 

Δ

A

B

C

ΔABC vuông tại 

A

A có 

A

M

AM là đường trung tuyến nên 

A

M

=

M

C

=

M

B

AM=MC=MB.

 

Vậy hình bình hành 

A

M

C

K

AMCK có 

A

M

=

M

C

AM=MC nên là hình thoi.

 

b) Vì 

A

M

C

K

AMCK là hình thoi nên 

A

K

AK // 

B

M

BM và 

A

K

=

M

C

=

B

M

AK=MC=BM.

 

Tứ giác 

A

K

M

B

AKMB có 

A

K

AK // 

B

M

,

A

K

=

B

M

BM,AK=BM nên là hình bình hành.

 

c) Để 

A

M

C

K

AMCK là hình vuông thì cần có một góc vuông hay 

A

M

⊥

M

C

AM⊥MC.

 

Khi đó 

Δ

A

B

C

ΔABC có 

A

M

AM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân tại 

A

A.

 

Vậy 

Δ

A

B

C

ΔABC vuông cân tại 

A

A thì 

A

M

C

K

AMCK là hình vuông.

ΔABC vuông cân nên 

B

^

=

C

^

=

45

∘

.

B

 = 

C

 =45 

∘

 .

 

Δ

B

H

E

ΔBHE vuông tại 

H

H có 

B

E

H

^

+

B

^

=

90

∘

BEH

 + 

B

 =90 

∘

 

 

Suy ra 

B

E

H

^

=

90

∘

−

45

∘

=

45

∘

BEH

 =90 

∘

 −45 

∘

 =45 

∘

  nên 

B

^

=

B

E

H

^

=

45

∘

B

 = 

BEH

 =45 

∘

 .

 

Vậy 

Δ

B

E

H

ΔBEH vuông cân tại 

H

.

H.

 

b) Chứng minh tương tự câu a ta được 

Δ

C

F

G

ΔCFG vuông cân tại 

G

G nên 

G

F

=

G

C

GF=GC và 

H

B

=

H

E

HB=HE

 

Mặt khác 

B

H

=

H

G

=

G

C

BH=HG=GC suy ra 

E

H

=

H

G

=

G

F

EH=HG=GF và 

E

H

EH // 

F

G

FG (cùng vuông góc với 

B

C

)

BC)

 

Tứ giác 

E

F

G

H

EFGH có 

E

H

EH // 

F

G

,

E

H

=

F

G

FG,EH=FG nên là hình bình hành.

 

Hình bình hành 

E

F

G

H

EFGH có một góc vuông 

H

^

H

  nên là hình chữ nhật

 

Hình chữ nhật 

E

F

G

H

EFGH có hai cạnh kề bằng nhau 

E

H

=

H

G

EH=HG nên là hình vuông.

Xét OBAC có

Góc C,O,B=90°

=> OABC là tia phân giác góc Ở

=> OBAC là hình vuông