• a. Chiều dài của lò xo là 45 cm khi treo vật có khối lượng 500 g.
• b. Khối lượng vật cần treo để lò xo có chiều dài 48 cm là 0,8 kg.

• a. Chiều dài của lò xo là 45 cm khi treo vật có khối lượng 500 g.
• b. Khối lượng vật cần treo để lò xo có chiều dài 48 cm là 0,8 kg.

Một người có khối lượng m_1 = 60 \, \text{kg} đang chạy với vận tốc v_1 = 4 \, \text{m/s}, nhảy lên một chiếc xe có khối lượng m_2 = 100 \, \text{kg} đang chạy với vận tốc v_2 = 3 \, \text{m/s}. Ta cần tính vận tốc của xe và người sau khi người này nhảy lên trong hai trường hợp: cùng chiều và ngược chiều.

Sử dụng định lý bảo toàn động lượng

:

Khi không có ngoại lực tác dụng theo phương ngang, động lượng của hệ (người và xe) được bảo toàn. Công thức bảo toàn động lượng là:

m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v_f

Trong đó:

• m_1 là khối lượng người,
• v_1 là vận tốc người,
• m_2 là khối lượng xe,
• v_2 là vận tốc xe,
• v_f là vận tốc cuối cùng của hệ (xe và người) sau khi người nhảy lên.

a. Cùng chiều

:

Khi xe và người chuyển động cùng chiều, động lượng của hệ là tổng động lượng của người và xe, và vận tốc cuối cùng sẽ cùng chiều với chiều chuyển động ban đầu.

Công thức bảo toàn động lượng:

m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v_f

Thay các giá trị vào:

60 \times 4 + 100 \times 3 = (60 + 100) v_f

240 + 300 = 160 v_f

540 = 160 v_f

v_f = \frac{540}{160} = 3,375 \, \text{m/s}

Kết quả: Khi xe và người chuyển động cùng chiều, vận tốc của xe và người sau khi người nhảy lên là 3,375 m/s.

b. Ngược chiều

:

Khi xe và người chuyển động ngược chiều, động lượng của hệ vẫn được bảo toàn, nhưng vì xe và người chuyển động ngược chiều nhau nên ta phải tính động lượng của chúng với dấu khác nhau.

Công thức bảo toàn động lượng:

m_1 v_1 - m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v_f

Thay các giá trị vào:

60 \times 4 - 100 \times 3 = (60 + 100) v_f

240 - 300 = 160 v_f

-60 = 160 v_f

v_f = \frac{-60}{160} = -0,375 \, \text{m/s}

Kết quả: Khi xe và người chuyển động ngược chiều, vận tốc của xe và người sau khi người nhảy lên là -0,375 m/s (nghĩa là xe và người sẽ chuyển động ngược lại so với chiều chuyển động ban đầu của xe).

Kết luận:

• Cùng chiều: Vận tốc của xe và người sau khi người nhảy lên là 3,375 m/s.
• Ngược chiều: Vận tốc của xe và người sau khi người nhảy lên là -0,375 m/s (nghĩa là xe và người sẽ chuyển động ngược lại với chiều ban đầu).

Ta có điều kiện:

W_đ = W_t

Gọi độ cao cần tìm là h. Khi đó:

W_t = mg h

W_đ = 20 - mg h

Theo đề bài:

mg h = 20 - mg h

2 mg h = 20

h = \frac{20}{2 \times 0.2 \times 10}

h = 5 \text{ m}

Kết luận

• Tại độ cao h = 5 m, động năng bằng thế năng, mỗi giá trị là 10 J.

• Trên 5 m, thế năng lớn hơn động năng.

• Dưới 5 m, động năng lớn hơn thế năng.

Thế năng ban đầu

Công thức tính thế năng trọng trường:

W_t = mgH

Thay số:

W_t = 0.2 \times 10 \times 10

W_t = 20 \text{ J}

Động năng ngay trước khi chạm đất

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng:

W_đ + W_t = \text{const}

Tại độ cao H = 10 m:

W_{đ1} = 0, \quad W_{t1} = 20 \text{ J}

Ngay trước khi chạm đất (h = 0):

W_{t2} = 0

Do bảo toàn cơ năng:

W_{đ2} = W_{t1} = 20 \text{ J}

Ta có điều kiện:

W_đ = W_t

Gọi độ cao cần tìm là h. Khi đó:

W_t = mg h

W_đ = 20 - mg h

Theo đề bài:

mg h = 20 - mg h

2 mg h = 20

h = \frac{20}{2 \times 0.2 \times 10}

h = 5 \text{ m}

Kết luận

• Tại độ cao h = 5 m, động năng bằng thế năng, mỗi giá trị là 10 J.

• Trên 5 m, thế năng lớn hơn động năng.

• Dưới 5 m, động năng lớn hơn thế năng.

Thế năng ban đầu

Công thức tính thế năng trọng trường:

W_t = mgH

Thay số:

W_t = 0.2 \times 10 \times 10

W_t = 20 \text{ J}

Động năng ngay trước khi chạm đất

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng:

W_đ + W_t = \text{const}

Tại độ cao H = 10 m:

W_{đ1} = 0, \quad W_{t1} = 20 \text{ J}

Ngay trước khi chạm đất (h = 0):

W_{t2} = 0

Do bảo toàn cơ năng:

W_{đ2} = W_{t1} = 20 \text{ J}

Công của trọng lực: A_t = 60 J

• Công của lực ma sát: A_m = -36 J

Công của trọng lực được tính bằng công thức:

A_t = mg h

Với độ cao h mà vật rơi xuống được tính bằng:

h = s \sin\alpha = 8 \times \sin 30^\circ

Vì \sin 30^\circ = 0.5, ta có:

h = 8 \times 0.5 = 4 \text{ m}

Do đó, công của trọng lực là:

A_t = 1.5 \times 10 \times 4

A_t = 60 \text{ J}

 tóm tắt

m = 1.5 kg

v_1 = 2 m/s

v_2 = 6 m/s

 \alpha = 30^\circ

 s = 8 m

g = 10 m/s²

Ta có:

W_đ = 1.5 W_t

\frac{1}{2} m v^2 = 1.5 m g h

Thế năng tại độ cao 3m:

W_t = mg \times 3 = 3mg

\frac{1}{2} m v^2 = 1.5 \times 3mg = 4.5 mg

\frac{1}{2} v^2 = 4.5 g

v^2 = 9 g

v^2 = 9 \times 10 = 90

v = \sqrt{90} \approx 9.49 \text{ m/s}

Cơ năng tổng cộng:

W = W_đ + W_t

37.5 = 4.5 mg + 3mg

37.5 = 7.5 mg

m = \frac{37.5}{7.5 \times 10} = \frac{37.5}{75} = 0.5 \text{ kg}

Khối lượng của vật: m = 0.5 kg

• Vận tốc tại độ cao 3m: v \approx 9.49 m/s

Ta có:

W_đ = 1.5 W_t

\frac{1}{2} m v^2 = 1.5 m g h

Thế năng tại độ cao 3m:

W_t = mg \times 3 = 3mg

\frac{1}{2} m v^2 = 1.5 \times 3mg = 4.5 mg

\frac{1}{2} v^2 = 4.5 g

v^2 = 9 g

v^2 = 9 \times 10 = 90

v = \sqrt{90} \approx 9.49 \text{ m/s}

Cơ năng tổng cộng:

W = W_đ + W_t

37.5 = 4.5 mg + 3mg

37.5 = 7.5 mg

m = \frac{37.5}{7.5 \times 10} = \frac{37.5}{75} = 0.5 \text{ kg}

Khối lượng của vật: m = 0.5 kg

• Vận tốc tại độ cao 3m: v \approx 9.49 m/s

Trường hợp a: Bỏ qua ma sát

Lực kéo của động cơ

Theo định luật II Newton:

F_k = m a = 2000 \times 0.4 = 800 \text{ N}

Công của động cơ

A = F_k \cdot s

Với quãng đường s tính theo công thức chuyển động thẳng biến đổi đều:

s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 0.4 \times 15^2 = 45 \text{ m}

A = 800 \times 45 = 36.000 \text{ J}

Công suất trung bình

P = \frac{A}{t} = \frac{36.000}{15} = 2400 \text{ W} = 2.4 \text{ kW}

Trường hợp b: Có ma sát

Lực ma sát:

F_{\text{ms}} = \mu mg = 0.05 \times 2000 \times 10 = 1000 \text{ N}

Lực kéo của động cơ

F_k = F_{\text{ms}} + ma = 1000 + 800 = 1800 \text{ N}

Công của động cơ

A = F_k \cdot s = 1800 \times 45 = 81.000 \text{ J}

Công suất trung bình

P = \frac{A}{t} = \frac{81.000}{15} = 5400 \text{ W} = 5.4 \text{ kW}

Kết luận:

Trường hợp a (bỏ qua ma sát):

• Lực kéo: 800 N

• Công: 36.000 J

• Công suất: 2.4 kW

Trường hợp b (có ma sát \mu = 0.05)

• Lực kéo: 1800 N

• Công: 81.000 J

• Công suất: 5.4 kW

Trường hợp a: Bỏ qua ma sát

Lực kéo của động cơ

Theo định luật II Newton:

F_k = m a = 2000 \times 0.4 = 800 \text{ N}

Công của động cơ

A = F_k \cdot s

Với quãng đường s tính theo công thức chuyển động thẳng biến đổi đều:

s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 0.4 \times 15^2 = 45 \text{ m}

A = 800 \times 45 = 36.000 \text{ J}

Công suất trung bình

P = \frac{A}{t} = \frac{36.000}{15} = 2400 \text{ W} = 2.4 \text{ kW}

Trường hợp b: Có ma sát

Lực ma sát:

F_{\text{ms}} = \mu mg = 0.05 \times 2000 \times 10 = 1000 \text{ N}

Lực kéo của động cơ

F_k = F_{\text{ms}} + ma = 1000 + 800 = 1800 \text{ N}

Công của động cơ

A = F_k \cdot s = 1800 \times 45 = 81.000 \text{ J}

Công suất trung bình

P = \frac{A}{t} = \frac{81.000}{15} = 5400 \text{ W} = 5.4 \text{ kW}

Kết luận:

Trường hợp a (bỏ qua ma sát):

• Lực kéo: 800 N

• Công: 36.000 J

• Công suất: 2.4 kW

Trường hợp b (có ma sát \mu = 0.05)

• Lực kéo: 1800 N

• Công: 81.000 J

• Công suất: 5.4 kW