Gọi 7 điểm phân biệt là A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7. Tổng số đoạn thẳng được tạo ra là \binom{7}{2} = \frac{7 \times 6}{2} = 21. Xét một điểm bất kì, ví dụ A_1. Có 6 đoạn thẳng nối A_1 với 6 điểm còn lại. Giả sử k đoạn thẳng trong số này được tô màu đỏ. Nếu trong 6-k đoạn thẳng còn lại có 2 đoạn thẳng cùng màu xanh, thì ta có một tam giác cùng màu xanh. Nếu trong k đoạn thẳng được tô màu đỏ có 2 đoạn thẳng cùng màu đỏ, thì ta có một tam giác cùng màu đỏ. Để không có tam giác nào cùng màu, ta cần: \begin{itemize} \item Trong 6 đoạn thẳng nối A_1 với các điểm còn lại, số đoạn thẳng màu đỏ không quá 2 và số đoạn thẳng màu xanh không quá 2. \end{itemize} Tức là k \le 3 và 6-k \le 3, suy ra 3 \le k \le 3, vậy k=3. Xét trường hợp tổng quát. Chọn một điểm, chẳng hạn A_1. Có 6 đoạn thẳng nối A_1 với 6 điểm còn lại. Giả sử có k đoạn thẳng màu đỏ và 6-k đoạn thẳng màu xanh. Nếu k \ge 3, theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại ít nhất 3 đoạn thẳng cùng màu đỏ. Nếu trong 3 đoạn thẳng này có 2 đoạn thẳng cùng màu đỏ, ta có tam giác đỏ. Nếu không có 2 đoạn thẳng nào cùng màu đỏ, thì 3 đoạn thẳng còn lại cùng màu xanh, ta có tam giác xanh. Vậy k \le 2. Tương tự, 6-k \le 2, suy ra k \ge 4. Xét đồ thị đầy đủ K_7 có 7 đỉnh. Mỗi cạnh được tô màu đỏ hoặc xanh. Xét một đỉnh v. Có 6 cạnh xuất phát từ v. Theo nguyên lý Dirichlet, có ít nhất 3 cạnh cùng màu, giả sử là màu đỏ. Gọi 3 đỉnh đầu mút của 3 cạnh này là x, y, z. Nếu một trong các cạnh xy, yz, zx màu đỏ, ta có tam giác đỏ. Nếu cả 3 cạnh xy, yz, zx màu xanh, ta có tam giác xanh. Vậy số k nhỏ nhất là 9.

Gọi 2006 điểm đã cho là A_1, A_2, ..., A_{2006}. Xét một bộ ba điểm bất kỳ A_i, A_j, A_k trong 2006 điểm đã cho. Giả sử các cạnh của tam giác A_iA_jA_k được gán các số x, y, z tương ứng với các cạnh A_iA_j, A_jA_k, A_kA_i. Theo đề bài, ta có hai cạnh được gán bởi hai số bằng nhau và cạnh còn lại được gán bởi số lớn hơn hai số đó. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng số tốt nhỏ nhất là m = 2005. Với n = 3, ta có 3 điểm A_1, A_2, A_3. Ta gán các cạnh A_1A_2 = 1, A_2A_3 = 1, A_1A_3 = 2. Với n = 4, ta có 4 điểm A_1, A_2, A_3, A_4. Ta gán các cạnh A_1A_2 = 1, A_2A_3 = 1, A_3A_4 = 1, A_1A_3 = 2, A_2A_4 = 2, A_1A_4 = 3. Giả sử với n = k thì số tốt nhỏ nhất là k-1. Ta sẽ chứng minh với n = k+1 thì số tốt nhỏ nhất là k. Xét k+1 điểm A_1, A_2, ..., A_{k+1}. Theo giả thiết quy nạp, ta có thể gán cho các cạnh của k điểm A_1, A_2, ..., A_k các số không vượt quá k-1. Xét điểm A_{k+1}. Ta gán các cạnh A_{k+1}A_i = k với i = 1, 2, ..., k. Khi đó, các tam giác tạo bởi 3 điểm bất kỳ đều thỏa mãn điều kiện đề bài. Vậy số tốt nhỏ nhất là m = 2005.

em cần tích cực tham gia các hoạt động trên olm như diễn đàn hỏi đáp, các cuộc thi vui, thi đấu và học tập trên olm em nhá

em cần tích cực tham gia các hoạt động trên olm như diễn đàn hỏi đáp, các cuộc thi vui, thi đấu và học tập trên olm em nhá

em cần tích cực tham gia các hoạt động trên olm như diễn đàn hỏi đáp, các cuộc thi vui, thi đấu và học tập trên olm em nhá

Hff