a) $$y=\frac{x+1}{x-2}$$y=x−2x+1​

1. Tìm tập xác định. Hàm số xác định khi $$x-2 \ne 0 \iff x \ne 2$$$$x-2\ne 0⟺x\ne 2$$. Vậy $$D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$$$$D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$$.

2. Tìm tiệm cận.

   • Tiệm cận đứng: $$x = 2$$$$x=2$$ vì $$\lim_{x \to 2^+} \frac{x+1}{x-2} = +\infty$$x→2+lim​x−2x+1​=+∞ và $$\lim_{x \to 2^-} \frac{x+1}{x-2} = -\infty$$x→2−lim​x−2x+1​=−∞.
   • Tiệm cận ngang: $$y = 1$$$$y=1$$ vì $$\lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{x-2} = 1$$x→∞lim​x−2x+1​=1 và $$\lim_{x \to -\infty} \frac{x+1}{x-2} = 1$$x→−∞lim​x−2x+1​=1.

3. Tìm giao điểm với các trục tọa độ.

   • Giao với trục Oy: Cho $$x = 0$$$$x=0$$, ta được $$y = -\frac{1}{2}$$y=−21​. Vậy giao điểm là $$(0; -\frac{1}{2})$$(0;−21​).
   • Giao với trục Ox: Cho $$y = 0$$$$y=0$$, ta được $$x = -1$$$$x=-1$$. Vậy giao điểm là $$(-1; 0)$$$$(-1;0)$$.

4. Khảo sát sự biến thiên.

   • $$y' = \frac{(x-2) - (x+1)}{(x-2)^{2}} = \frac{-3}{(x-2)^{2}} < 0$$y′=(x−2)2(x−2)−(x+1)​=(x−2)2−3​<0với mọi $$x \ne 2$$$$x\ne 2$$. Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $$(-\infty; 2)$$$$(-\infty ;2)$$ và $$(2; +\infty)$$$$(2;+\infty )$$.

5. Vẽ đồ thị. Vẽ các tiệm cận $$x=2$$$$x=2$$ và $$y=1$$$$y=1$$, đánh dấu các điểm giao với trục tọa độ và dựa vào sự biến thiên để vẽ đồ thị.

b) $$y=\frac{2x+1}{x-1}$$y=x−12x+1​

1. Tìm tập xác định. Hàm số xác định khi $$x-1 \ne 0 \iff x \ne 1$$$$x-1\ne 0⟺x\ne 1$$. Vậy $$D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$$$$D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$$.

2. Tìm tiệm cận.

   • Tiệm cận đứng: $$x = 1$$$$x=1$$ vì $$\lim_{x \to 1^+} \frac{2x+1}{x-1} = +\infty$$x→1+lim​x−12x+1​=+∞ và $$\lim_{x \to 1^-} \frac{2x+1}{x-1} = -\infty$$x→1−lim​x−12x+1​=−∞.
   • Tiệm cận ngang: $$y = 2$$$$y=2$$ vì $$\lim_{x \to \infty} \frac{2x+1}{x-1} = 2$$x→∞lim​x−12x+1​=2 và $$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x+1}{x-1} = 2$$x→−∞lim​x−12x+1​=2.

3. Tìm giao điểm với các trục tọa độ.

   • Giao với trục Oy: Cho $$x = 0$$$$x=0$$, ta được $$y = -1$$$$y=-1$$. Vậy giao điểm là $$(0; -1)$$$$(0;-1)$$.
   • Giao với trục Ox: Cho $$y = 0$$$$y=0$$, ta được $$x = -\frac{1}{2}$$x=−21​. Vậy giao điểm là $$(-\frac{1}{2}; 0)$$(−21​;0).

4. Khảo sát sự biến thiên.

   • $$y' = \frac{2(x-1) - (2x+1)}{(x-1)^{2}} = \frac{-3}{(x-1)^{2}} < 0$$y′=(x−1)22(x−1)−(2x+1)​=(x−1)2−3​<0với mọi $$x \ne 1$$$$x\ne 1$$. Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $$(-\infty; 1)$$$$(-\infty ;1)$$ và $$(1; +\infty)$$$$(1;+\infty )$$.

5. Vẽ đồ thị. Vẽ các tiệm cận $$x=1$$$$x=1$$ và $$y=2$$$$y=2$$, đánh dấu các điểm giao với trục tọa độ và dựa vào sự biến thiên để vẽ đồ thị.

Câu a) $$y = -x^{3} + 3x + 1$$y=−x3+3x+1

1. Tìm tập xác định. Hàm số $$y = -x^{3} + 3x + 1$$y=−x3+3x+1 là hàm đa thức nên tập xác định là $$D = \mathbb{R}$$$$D=\mathbb{R}$$.

2. Tìm đạo hàm. $$y' = -3x^{2} + 3 = -3(x^{2} - 1) = -3(x-1)(x+1)$$y′=−3x2+3=−3(x2−1)=−3(x−1)(x+1).

3. Tìm cực trị. $$y' = 0 \Leftrightarrow x = 1$$y′=0⇔x=1 hoặc $$x = -1$$$$x=-1$$.

   • Với $$x = 1$$$$x=1$$, $$y = -1 + 3 + 1 = 3$$$$y=-1+3+1=3$$. Điểm cực trị $$(1; 3)$$$$(1;3)$$.
   • Với $$x = -1$$$$x=-1$$, $$y = -(-1) + 3(-1) + 1 = -1$$$$y=-(-1)+3(-1)+1=-1$$. Điểm cực trị $$(-1; -1)$$$$(-1;-1)$$.
     Bảng biến thiên:

   x	-∞	-1	1	+∞
   y'	-	0	0	-
   y	+∞	-1	3	-∞
   Hàm số đồng biến trên $$(-1; 1)$$$$(-1;1)$$ và nghịch biến trên $$(-\infty; -1)$$$$(-\infty ;-1)$$ và $$(1; +\infty)$$$$(1;+\infty )$$.

4. Tìm tiệm cận. Hàm số không có tiệm cận.

5. Vẽ đồ thị. (Vẽ đồ thị dựa trên bảng biến thiên và các điểm cực trị)

Câu b) $$y = x^{3} - 3x^{2} + 4$$y=x3−3x2+4

1. Tìm tập xác định. Hàm số $$y = x^{3} - 3x^{2} + 4$$y=x3−3x2+4là hàm đa thức nên tập xác định là $$D = \mathbb{R}$$$$D=\mathbb{R}$$.

2. Tìm đạo hàm. $$y' = 3x^{2} - 6x = 3x(x - 2)$$y′=3x2−6x=3x(x−2).

3. Tìm cực trị. $$y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$$y′=0⇔x=0 hoặc $$x = 2$$$$x=2$$.

   • Với $$x = 0$$$$x=0$$, $$y = 4$$$$y=4$$. Điểm cực trị $$(0; 4)$$$$(0;4)$$.
   • Với $$x = 2$$$$x=2$$, $$y = 8 - 12 + 4 = 0$$$$y=8-12+4=0$$. Điểm cực trị $$(2; 0)$$$$(2;0)$$.
     Bảng biến thiên:

   x	-∞	0	2	+∞
   y'	+	0	0	+
   y	-∞	4	0	+∞
   Hàm số đồng biến trên $$(-\infty; 0)$$$$(-\infty ;0)$$ và $$(2; +\infty)$$$$(2;+\infty )$$ và nghịch biến trên $$(0; 2)$$$$(0;2)$$.

4. Tìm tiệm cận. Hàm số không có tiệm cận.

5. Vẽ đồ thị. (Vẽ đồ thị dựa trên bảng biến thiên và các điểm cực trị)