Chúng ta sẽ khảo sát hàm số .

1. Tập xác định:

Hàm số xác định khi mẫu số khác 0, tức là . Giải phương trình ta có nghiệm:

Vậy tập xác định của hàm số là: .

2. Sự biến thiên:

    •    Đạo hàm:

Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức:

Tính toán đạo hàm từng phần:

Tiếp tục tính cụ thể sẽ cho ta dạng của đạo hàm.

    •    Bảng biến thiên: Ta cần tính toán dấu của đạo hàm để biết chiều biến thiên của hàm số. Điều này dựa vào nghiệm của tử số của đạo hàm.

3. Tiệm cận:

    •    Tiệm cận đứng: Hàm số có tiệm cận đứng tại các điểm làm mẫu số bằng 0, tức là .

    •    Tiệm cận ngang: Tính giới hạn của hàm số khi :

Vậy tiệm cận ngang của hàm số là .

4. Đồ thị:

Đồ thị có tiệm cận đứng tại và tiệm cận ngang tại .

Để vẽ chính xác, cần thêm bước xác định chiều biến thiên của hàm số qua bảng biến thiên sau khi tính toán dấu của đạo hàm.

a) Khảo sát hàm số

    1.    Tập xác định:

Hàm số xác định khi , tức là .

Vậy tập xác định của hàm số: .

    2.    Sự biến thiên

    •    Đạo hàm:

Đạo hàm luôn âm với mọi , nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng và .

    3.    Tiệm cận

    •    Tiệm cận đứng: (vì hàm số không xác định tại điểm này).

    •    Tiệm cận ngang: Tính giới hạn khi :

Vậy đường thẳng là tiệm cận ngang.

    4.    Đồ thị:

Đồ thị có tiệm cận đứng tại và tiệm cận ngang tại . Hàm số nghịch biến trên các khoảng và .

b) Khảo sát hàm số

    1.    Tập xác định:

Hàm số xác định khi , tức là .

Vậy tập xác định của hàm số: .

    2.    Sự biến thiên

    •    Đạo hàm:

Đạo hàm luôn âm với mọi , nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng và .

    •    Bảng biến thiên:

    3.    Tiệm cận

    •    Tiệm cận đứng: (vì hàm số không xác định tại điểm này).

    •    Tiệm cận ngang: Tính giới hạn khi :

Vậy đường thẳng là tiệm cận ngang.

    4.    Đồ thị:

Đồ thị có tiệm cận đứng tại và tiệm cận ngang tại . Hàm số nghịch biến trên các khoảng và .

a) Khảo sát hàm số

    1.    Tập xác định:

Hàm số xác định với mọi .

    2.    Sự biến thiên

    •    Đạo hàm:

    •    Tìm nghiệm của :

    •    Dấu của đạo hàm:

    •    Khi , (hàm số đồng biến).

    •    Khi , (hàm số nghịch biến).

    •    Khi , (hàm số đồng biến)

    •    Cực trị:

    •    , (cực đại).

    •    , (cực tiểu).

    3.    Đồ thị

    •    Hàm số có hai cực trị và đi qua các điểm và .

    •    Đồ thị nhận trục tung là trục đối xứng.

b) Khảo sát hàm số

    1.    Tập xác định:

Hàm số xác định với mọi .

    2.    Sự biến thiên

    •    Đạo hàm:

    •    Tìm nghiệm của :

hoặc

    •    Dấu của đạo hàm:

    •    Khi , (hàm số đồng biến).

    •    Khi , (hàm số nghịch biến).

    •    Khi , (hàm số đồng biến).

    •    Bảng biến thiên:

    •    Cực trị:

    •    , (cực tiểu).

    •    , (cực đại).

    3.    Đồ thị

    •    Đồ thị hàm số có cực đại tại và cực tiểu tại .

    •    Hàm số có điểm uốn và đi qua trục tung.