Gọi hòn đảo lớn là đường tròn ($O;500$ m) và hòn đảo nhỏ là đường tròn ($O^{\prime };300$ m). Lấy $A$ thuộc đường tròn $(O)$ và $B$ thuộc đường tròn tâm $(O^{\prime })$ là hai vị trí đầu cầu. Khi đó, $AB$ là chiều dài cây cầu và $O{O}^{\prime }=950$ m, $OA=500$ m, $O^{\prime }B=300$ m.

Xét ba điểm $O^{\prime },A,B$, ta có $AB\ge O^{\prime }A-O^{\prime }B$.

Xét ba điểm $O,O^{\prime },A$, ta có $O^{\prime }A\ge O{O}^{\prime }-OA$.

Do đó $AB\ge O{O}^{\prime }-OA-O^{\prime }B$ hay $AB\ge 150$ m.

Dấu ${}^{\prime \prime }{=}^{\prime \prime }$ xảy ra khi bốn điểm $O,A,B,O^{\prime }$ thẳng hàng theo thứ tự đó.

Vậy ta nên đặt cầu trên đoạn nối tâm của hai đảo thì cây cầu có chiều dài ngắn nhất là $150$ m.

a) Xét $\Delta OBD$ cân tại $O$ (vì $OB=OD=R$) có $OI$ là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.

Suy ra $OI\perp BD$(1)

Xét $\Delta OAB$ cân tại $O$ (vì $OB=OA$) có $OH$ là tia phân giác góc tại $O$ (tính chất của tiếp tuyến cắt nhau)

Nên $OH$ đồng thời là đường cao.

Suy ra $OM\perp AB$(2)

Xét tam giác $ABD$ có $OA=OB=OD$ nên $\Delta ABD$ vuông tại $B$

Suy ra $AB\perp BD$(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra, $OHBI$ là hình chữ nhật.

b) Xét $\Delta OBK$ và $\Delta ODK$ có:

$OB=OD\left(=R\right)$

$OK$ : cạnh chung

\(\widehat{BOK}=\widehat{DOK}\)($OI$ là tia phân giác góc $BOD$)

Do đó $\Delta OBK=\Delta ODK$ (c-g-c)

Suy ra \(\widehat{ODK}=\widehat{OBK}=90^o\)(hai góc tương ứng)

Vậy $KD$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

ta có :\(\widehat{xBC}=\widehat{ACB}\)\(=20^o\)\(,\widehat{xBD}=\widehat{ADB}=30^o\)

 AC=ABtan⁡ACB^=100tan⁡20∘Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, cóAC=\(\dfrac{AB}{\tan\widehat{ACB}}=\dfrac{100}{\tan20^o}\)



 

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A$, có AD=ABtan⁡D=100tan⁡30∘AD=\(\dfrac{AB}{\tan D}\)\(=\dfrac{100}{\tan30^o}\)

Ta có CD=AC−AD=100tan⁡20∘−100tan⁡30∘≈102CD=AC−AD= \(\dfrac{100}{\tan20^o}-\dfrac{100}{\tan30^o}\approx102\left(m\right)\)

Gọi số tiền theo giá niêm yết của một chiếc bàn là là: $x$ (nghìn đồng) ($0<x<850$)

Thì số tiền theo giá niêm yết của một chiếc quạt điện $850-x$ (nghìn đồng)

Số tiền được giảm của một chiếc bàn là là: 10%x=110x10%x=\(\dfrac{1}{10}\)

​x (nghìn đồng)

Số tiền được giảm của một chiếc quạt điện là:  20%(850−x)=15(850−x)20%(850−x)=\(\dfrac{1}{5}\)
​(850−x) (nghìn đồng)

Theo bài ra ta có phương trình:

110x+15(850−x)=125

​\(\dfrac{1}{10}\)x+\(\dfrac{1}{5}\)

​(850−x)=125

Giải phương trình:

$x+1700-2x=1250$

$x=450$ (thỏa mãn).

Vậy số tiền phải trả thực tế của bàn là là $450$ nghìn đồng và của chiếc quạt điện là $850-450=400$ nghìn đồng.

A=\(\sqrt{28}+\sqrt{63}-5\sqrt{8-2\sqrt{ }7}\)

A=\(\sqrt{^22\cdot7}+\sqrt{^23\cdot7}5\sqrt{\left(\sqrt{7}-1\right)^2}\)

A=\(2\sqrt{7}+3\sqrt{7}-5\left(\sqrt{7}-1\right)\)

A=5

2.a) thay x=25 ta có: \(\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{25}+2}=\dfrac{5}{7}\)

b) ta có:

B=\(\dfrac{x}{x-4}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{1}{2-\sqrt{x}}\)

B=\(\dfrac{x}{x-4}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}\)

B=\(\dfrac{x}{x-4}+\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-4}\)

B=\(\dfrac{x-\sqrt{x}-2+\sqrt{x}+2}{x-4}\)

B=\(\dfrac{x+2\sqrt{x}}{x-4}\)

B=\(\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

B=\(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\left(ĐPCM\right)\)

c)P=A:B=\(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}\):\(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\)=\(\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}\)

để \(\sqrt{P}< \dfrac{1}{2}=>0\) ≤ P=\(\dfrac{1}{4}\)

P≥0\(\Rightarrow\)\(\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}\)≥0\(\Rightarrow\)\(\sqrt{x}-2\)≥0\(\Rightarrow\)x > 4

P<\(\dfrac{1}{4}\Rightarrow\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}\)-\(\dfrac{1}{4}< 0\)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{3\sqrt{x}-10}{4\left(\sqrt{x}+2\right)}\)<0

\(3\sqrt{x}-10< 0\)\(\Rightarrow\sqrt{x}< \dfrac{10}{3}\)\(\Rightarrow0\) ≤ x < \(\dfrac{100}{9}\)

Vì \(4\left(\sqrt{x}+2\right)< 0\)

\(\Rightarrow4< x< \dfrac{100}{9}\) mà x nhận giá trị nguyên nhỏ nhất nên \(x=5\)