Xét tam giác $ABC$ không phải tam giác đều.

Không mất tính tổng quát, có thể giả sử $\hat{A}\ge \hat{B}\ge \hat{C}$.

Vì tam giác $ABC$ không phải là tam giác đều nên $\hat{A}>\hat{C}$.

Giả sử $\hat{C}\ge 60^{\circ }$ thì $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}>180^{\circ }$ (vô lí).

Do đó $\hat{C}<60^{\circ }$ nên một tam giác không phải là tam giác đều thì có ít nhất một góc nhỏ hơn $60^{\circ }$

$P$: "$n^2$ chẵn" (giả thiết); $Q$: "$n$ chẵn" thì $\overline{Q}$: "$n$ lẻ".

Lời giải:

Giả sử $n$ lẻ, khi đó $n$ có dạng $2k+1$ với $k\in \mathbb{Z}$.

Suy ra $n^2=(2k+1{)}^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$ lẻ (mâu thuẫn với giả thiết $n^2$ chẵn).

Do đó $n$ chẵn nên nếu $n^2$ chẵn thì $n$ chẵn.

Ta có $\genfrac{}{}{0ex}{}{ax+by}{2}\ge \genfrac{}{}{0ex}{}{a+b}{2}.\genfrac{}{}{0ex}{}{x+y}{2}$

$\iff 2(ax+by)\ge (a+b)(x+y)$

$\iff 2(ax+by)\ge ax+ay+bx+by$

$\iff ax+by-ay-bx\ge 0$

$\iff (a-b)(x-y)\ge 0$ (luôn đúng vì giả thiết $a\ge b$ và $x\ge y$).

Vậy nếu $a\ge b$, $x\ge y$ thì $\genfrac{}{}{0ex}{}{ax+by}{2}\ge \genfrac{}{}{0ex}{}{a+b}{2}.\genfrac{}{}{0ex}{}{x+y}{2}$.

Ta có $4x^2+4y^2+6x+3\ge 4xy$

$\iff (x^2-4xy+4y^2)+3(x^2+2x+1)\ge 0$

$\iff (x-2y{)}^2+3(x+1{)}^2\ge 0$ (luôn đúng với mọi $x$, $y$).

Vậy với mọi $x$, $y$ ta có $4x^2+4y^2+6x+3\ge 4xy$.

Nếu $n$ chia hết cho $3$ thì $n=3k$ với $k\in \mathbb{N}$.

 Xét $k=2m$ thì $n=6m$ suy ra $n(n+1)=6m(6m+1)$ chia hết cho $6$.

 Xét $k=2m+1$ thì $n=3(2m+1)=6m+3$.

Suy ra $n(n+1)=(6m+3)(6m+4)=3.(2m+1).2(3m+2)=6.(2m+1).(3m+2)$ chia hết cho $6$.

Vậy với mọi số tự nhiên $n$, nếu $n$ chia hết cho $3$ thì $n(n+1)$ chia hết cho $6$.

Nếu $n$ lẻ thì $n$ có dạng $n=2k+1$ với $k\in \mathbb{N}$.

Do đó $n^3=(2k+1{)}^3=8k^3+12k^2+6k+1=2(4k^3+6k^2+3k)+1$.

Suy ra $n^3$ lẻ.

Vậy với mọi số tự nhiên $n$, nếu $n$ lẻ thì $n^3$ lẻ.

- It's a hand

- It's an eraser

- No, it isn't

- It's blue

- They're red

My name's Mai. I'm thirty years old. I'm fine today. My hobby is travelling. I have a green pencil.

1. I'm thirty years old

2. My hobby is cooking

3. Yes, i do

4. I learn English at break time

1. No, I don't

2. I play word puzzles

3. It's blue

4. My hobby is badminton