Xét 

Δ

B

E

D

ΔBED có 

{

M

I

//

E

D

M

E

=

B

M

{ 

 

  

MI//ED

ME=BM

 

  suy ra 

I

D

=

I

B

ID=IB.

 

Xét 

Δ

C

E

D

ΔCED có 

{

N

K

//

E

D

N

C

=

N

D

{ 

 

  

NK//ED

NC=ND

 

  suy ra 

K

E

=

K

C

KE=KC.

 

Suy ra 

M

I

=

1

2

E

D

MI= 

2

1

 

 ED; 

N

K

=

1

2

E

D

NK= 

2

1

 

 ED; 

E

D

=

1

2

B

C

ED= 

2

1

 

 BC.

 

I

K

=

M

K

−

M

I

=

1

2

B

C

−

1

2

D

E

=

D

E

−

1

2

D

E

=

1

2

D

E

IK=MK−MI= 

2

1

 

 BC− 

2

1

 

 DE=DE− 

2

1

 

 DE= 

2

1

 

 DE.

 

Vậy 

M

I

=

I

K

=

K

N

MI=IK=KN

a) Vì 

B

M

BM, 

C

N

CN là các đường trung tuyến của 

Δ

A

B

C

ΔABC nên 

M

A

=

M

C

MA=MC, 

N

A

=

N

B

NA=NB.

 

Do đó 

M

N

MN là đường trung bình của 

Δ

 

A

B

C

Δ ABC, suy ra 

M

N

MN // 

B

C

BC. (1)

 

Ta có 

D

E

DE là đường trung bình của 

Δ

 

G

B

C

Δ GBC nên 

D

E

DE // 

B

C

BC. (2)

 

Từ (1) và (2) suy ra 

M

N

MN // 

D

E

DE.

 

b) Xét 

Δ

 

A

B

G

Δ ABG, ta có 

N

D

ND là đường trung bình.

 

Xét 

Δ

 

A

C

G

Δ ACG, ta có 

M

E

ME là đường trung bình.

 

Do đó 

N

D

ND // 

A

G

AG, 

M

E

ME // 

A

G

AG.

 

Suy ra 

N

D

ND // 

M

E

ME.

Gọi K là trung điểm của CD

 

a: Xét ΔBDC có 

 

M là trung điểm của BC

 

K là trung điểm của CD

 

Do đó: MK là đường trung bình

 

=>MK//BD

 

hay ID//MK

 

Xét ΔAMK có 

 

I là trung điểm của AM

 

ID//MK

 

Do đó: D là trung điểm của AK

 

=>AD=DK=KC

 

=>AD=1/2DC

 

b: Xét ΔAMK có 

 

I là trung điểm của AM

 

D là trung điểm của AK

 

Do đó: ID là đường trung bình

 

=>ID=MK/2

 

hay MK=2ID

 

Ta có: MK là đường trung bình của ΔBDC

 

nên MK=BD/2

 

=>BD/2=2ID

 

hay BD=4ID

Từ gt 

A

M

=

1

2

M

C

⇒

A

M

=

M

E

=

E

C

AM= 

2

1

 

 MC⇒AM=ME=EC

 

Xét tg BCM có

 

ME=EC (cmt); DB=DC (gt) => DE là đường trung bình của tg BCM

 

=> DE//BM 

 

Xét tg ADE có

 

AM=ME (cmt)

 

BM//DE (cmt) =>OM//DE

 

=> OA=OD (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

 

b/

 

Ta có DE là đường trung bình của tg BCM 

⇒

D

E

=

1

2

B

M

⇒DE= 

2

1

 

 BM

 

Xét tg ADE có

 

OA=OD (cmt); AM=ME (cmt) => OM là đường trung bình của tg ADE

 

⇒

O

M

=

1

2

D

E

=

1

2

.

1

2

B

M

=

1

4

B

M

⇒OM= 

2

1

 

 DE= 

2

1

 

 . 

2

1

 

 BM= 

4

1

 

 BM

Gọi K là trung điểm của CD

 

a: Xét ΔBDC có 

 

M là trung điểm của BC

 

K là trung điểm của CD

 

Do đó: MK là đường trung bình

 

=>MK//BD

 

hay ID//MK

 

Xét ΔAMK có 

 

I là trung điểm của AM

 

ID//MK

 

Do đó: D là trung điểm của AK

 

=>AD=DK=KC

 

=>AD=1/2DC

 

b: Xét ΔAMK có 

 

I là trung điểm của AM

 

D là trung điểm của AK

 

Do đó: ID là đường trung bình

 

=>ID=MK/2

 

hay MK=2ID

 

Ta có: MK là đường trung bình của ΔBDC

 

nên MK=BD/2

 

=>BD/2=2ID

 

hay BD=4ID