Do BD là đường trung tuyến của ∆ABC (gt)

⇒ D là trung điểm của AC

Do CE là đường trung tuyến của ∆ABC (gt)

⇒ E là trung điểm của AB

⇒ DE là đường trung bình của ∆ABC

⇒ DE // BC và DE = BC : 2

⇒ BC = 2DE

Do DE // BC (cmt)

⇒ BCDE là hình thang

Do M là trung điểm của BE (gt)

N là trung điểm của CD (gt)

⇒ MN là đường trung bình của hình thang BCDE

⇒ MN // DE // BC và MN = (DE + BC) : 2

Do MN // DE (cmt)

⇒ MI // DE và NK // DE

∆BDE có:

MI // DE (cmt)

M là trung điểm của BE (gt)

⇒ I là trung điểm của BD

⇒ MI là đường trung bình của ∆BDE

⇒ MI = DE : 2   (1)

∆CDE có:

NK // DE (cmt)

N là trung điểm của CD (gt)

⇒ K là trung điểm của CE

⇒ NK là đường trung bình của ∆CDE

⇒ NK = DE : 2   (2)

Mà MI = DE : 2

⇒ MI = NK = DE : 2

⇒ MI + NK = DE

Ta có:

MN = (DE + BC) : 2

Mà BC = 2DE (cmt)

⇒ MN = (DE + 2DE) : 2

= DE + DE : 2

Lại có:

MN = MI + IK + NK

= (MI + NK) + IK

= DE + IK

⇒ DE + IK = DE + DE : 2

⇒ IK = DE : 2 (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ MI = IK = KN

a) Xét △ABC có:

NA=NB

MA=MC 

⇒ MN là đường trung bình △ABC

⇒ MN//BC

Xét △GBC có:

DG=DB

EG=EC

⇒ DE là đường trung bình △GBC

⇒ DE//BC

⇒ MN//DE ( MN//BC, DE//BC )

b) Xét △ ABG có:

NA=NB

DG=DB

⇒ ND là đường trung bình △ABG

⇒ ND//AG

Xét △ACG có:

MA=MC

EG=EC

⇒ ME là đường trung bình △ACG

⇒ ME//AG

⇒ ND//ME ( ND//AG, ME//AG )

a) Gọi E là trung điểm 

Từ GT AM=1/2 MC ⇒ AM=ME=EC

Xét △BCM có:

ME= EC (cmt)

DB= DC (gt)

⇒ DE là đường trung bình △BCM

⇒ DE//BM

Xét △ADE có:

AM=ME(cmt)

DE//BM (cmt) hay OM//DE

⇒ OA=OD ( t/c )

b) Ta có DE là đường trung bình △BCM

⇒ DE = 1/2 BM

Xét △ADE có:

OA=OD ( cmt )

OM=ME ( cmt )

⇒ O là đường trung bình △ADE

⇒ OM = 1/2 = !/2 . !/2 BM = !/

a) Kẻ MN//BD, NϵAC

MN là đường trung bình trong △BDC

⇒N là trung điểm CD (1)

IN là đường trung bình △AMN

⇒ D là trung điểm AN (2)

Từ (1), (2) ⇒ AD=1/2 DC

b) Ta có: ID=1/2 MN

MN=1/2 BD

⇒ BD=ID