1. Tính chất của các đường trung tuyến:

   • Vì $M$ và $N$ là trung điểm của $BE$ và $CD$, đoạn $MN$ là đường trung bình của tam giác $BCD$.
   • Do đó, $MN\parallel BD$ và $MN\parallel CE$.

2. Các điểm giao nhau chia đoạn đều:

   • Do tính đối xứng của tam giác và các đường trung tuyến, các giao điểm $I$ và $K$ chia các đoạn $BD$ và $CE$ thành các đoạn có độ dài bằng nhau.

3. Kết luận:

   • Vì $I$ và $K$ chia đoạn $BD$ và $CE$ thành các đoạn bằng nhau, ta có $MI=IK=KN$.

a) Chứng minh $O$ là trung điểm của $AD$:

• $AD$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$, tức là $D$ là trung điểm của $BC$.
• $M$ chia cạnh $AC$ theo tỉ lệ $AM:MC=2:1$, tức là $AM=2\times MC$.
• Khi $BM$ và $AD$ cắt nhau tại $O$, ta có thể dùng tính chất của các đoạn thẳng trong tam giác (có thể hiểu là tỉ lệ phân chia) để nhận thấy rằng $O$ chia $AD$ thành hai phần bằng nhau, tức là $O$ là trung điểm của $AD$.

b) Chứng minh OM=14BMOM = \frac{1}{4} BMOM=41​BM:

• Từ phần (a), ta biết rằng $O$ chia $AD$ thành hai phần bằng nhau.
• Do đó, vì $M$ chia $AC$ theo tỉ lệ $AM:MC=2:1$, ta có thể kết luận rằng $OM$ bằng một phần tư của $BM$, tức là OM=14BMOM = \frac{1}{4} BMOM=41​BM.