Xét ΔABC ta có: 

         E là trung điểm của cạnh AB(CE là đường trung tuyến)

D là trung điểm của cạnh AC(BD là đường trung tuyến)

=> ED là đường trung bình của ΔABC

⇒ ED // BC; ED = 1/2 BC(tính chất đường trung bình của tam giác)

Xét tứ giác BCDE có:

ED // BC 

=>BCDE là hình thang.

Xét hình thang BCDE, ta có: 

BC // DE

M là trung điểm cạnh bên BE(gt)

N là trung điểm cạnh bên CD(gt)

=>MN là đường trung hình hình thang BCDE

 ⇒ MN // DE

MN=(DE+BC)/2
       =(BC/2+BC)/2

       =3BC/4(tính chất đường trung bình hình thang)

Xét ΔBED, ta có: 

M là trung điểm BE(gt)

MI // DE

=>MI là đường trung bình của ΔBED

⇒ MI = 1/2 DE = 1/4 BC (tính chất đường trung bình của tam giác)

Xét ΔCED ta có: 

N là trung điểm CD(gt)

NK // DE

=>NK là đường trung bình của ΔCED

⇒ NK = 1/2 DE = 1/4 BC (tính chất đường trung bình của tam giác)

IK = MN – (MI + NK) = 3/4 BC – (1/4 BC + 1/4 BC) = 1/4 BC

⇒ MI = IK = KN = 1/4 BC

a, Ta có:

BM là đường trung tuyến của tam giác ABC

=> MA=MC

=> M là trung điểm của AC 

CN là đường trung tuyến của tam giác ABC

=> NA=NB

=> N là trung điểm của AB

Xét tam giác ABC có:

M là trung điểm của AC(cmt)

N là trung điểm của  AB(cmt)

=> MN là đường trung bình của tam giác ABC

=>MN//BC(1)(tính chất đường trung bình của tam giác)

Xét tam giác GBC có:

D là trung điểm của GB(gt)

E là trung điểm của GC(gt)

=>DE là đường trung bình của tam giác GBC

=>DE//BC(2)(tính chất dường trung bình của tam giác)

Từ (1),(2)=> MN//DE(đpcm)

b, Xét tam giác ABG có:

N là trung điểm của AB(cmt)

D là trung điểm của GB(gt)

=>ND là đường trung bình của tam giác ABG

=>ND//AG(3)(tính chất đường trung bình của tam giác)

Xét tam giác ACG có: 

M là trung điểm của AC(cmt)

E là trung điểm của GC(gt)
=> ME là đường trung bình của tam giác ACG

=>ME//AG(4)(tính chất đường trung bình của tam giác)

Từ (3),(4)=>ND//ME(đpcm)

Qua D kẻ đường thẳng song song với BM cắt AC tại N

Xét tam giác MBC có:

DB=DC(AD là đường trung tuyến)

DN//BM

=>N là trung điểm của MC (đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba)

=> DN là đường trung bình của tam giác MBC

=>MN=NC(=1/2MC)

Lại có:

AM=1/2MC

=>AM=MN(=1/2MC)

Xét tam giác AND có: 

AM=MN(cmt)

BM//DN

=>O là trung điểm của AD(đpcm) (đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba)

=>OM là đường trung bình của tam giác AND

b, Xét tam giác AND có:

OM là đường trung bình (cmt)

=>OM=1/2DN(1)(tính chất đường trung bình của tam giác)

Xét tam giác MBC có: 

DN là đường trung bình (cmt)

=>DN=1/2BM(2)(tính chất đường trung bình của tam giác)

Từ (1) và (2)=>OM=1/4BM(đpcm)

a, Kẻ ME//BD (E€AC)

Xét tam giác BCD có :

ME//BD

M là trung điểm của BC (AM là đường trung tuyến) 

=>E là trung điểm của DC (đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba)

=>DE=EC (1)

=> ME là đường trung bình của tam giác BCD

=>DE=1/2.DC (2)(tính chất đường trung bình của tam giác)

Xét tam giác AME có:

ID//ME (do ME//BD ; I€BD)

I là trung điểm của AM(gt)

=> D là trung điểm của AE (đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba)

=> AD=DE (3) 

Từ (1),(2)và (3)=> AD=1/2.DC (đpcm)

b, Ta có :

ME là đường trung bình của tam giác BCD

=>ME=1/2.BD (3) (tính chất đường trung bình của tam giác)

ID là đường trung bình của tam giác AME

=>ID=1/2.ME (tính chất đường trung bình của tam giác)

=>ME=2ID(4)

Từ (3) và (4); => 2ID=1/2BD

                              ID=1/4BD(đpcm)