Xét tam giác 
ABC, áp dụng tính chất tia phân giác trong tam giác, ta có: 

\(\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AC}{CB}=\dfrac{AB}{CB}=\dfrac{AN}{NC}\left(=\dfrac{b}{a}\right)\)
Vậy MN//BC( đlí Thalès đảo)
Suy ra\(\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{b}{b+a}\)(đlí Thalès)
Vậy MN=\(\dfrac{ab}{a+b}\)

a) Ta có ΔABC cân tại A 
Nên AC = AB = 12cm
Xét ΔABC có CD là đường phân giác ta được
\(\dfrac{AD}{DB}\) = \(\dfrac{AC}{BC}\)(t/c đường phân giác)
TS: \(\dfrac{AD}{DB}\) = \(\dfrac{12}{6}\)
hay \(\dfrac{AD}{12}\) = \(\dfrac{DB}{6}\)

mà AD + DB = 12cm (cmtr)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được
\(\dfrac{AD}{12}\) = \(\dfrac{DB}{6}\) = \(\dfrac{AD+DB}{12+6}\) = \(\dfrac{2}{3}\)
suy ra AD = \(\dfrac{2}{3}\).12 = 8(cm)
do đó DB = 12 - 8 = 4(cm)
b) Do CECE vuông góc với phân giác CDCD nên CECE là phân giác ngoài tại đỉnh CC của tam giác ABCABC.
Vậy\(\dfrac{EB}{EA}\) = \(\dfrac{BC}{AC}\) hay \(\dfrac{EB}{EB+BA}\) = \(\dfrac{BC}{AC}\)
Gọi độ dài 
EB là 
x thì \(\dfrac{x}{x+12}\) = \(\dfrac{6}{12}\)

Vậy x = 12cm

Xét $\Delta BED$ có {MI//EDME=BM{​MI//EDME=BM​ suy ra $ID=IB$.

Xét $\Delta CED$ có {NK//EDNC=ND{​NK//EDNC=ND​ suy ra $KE=KC$.

Suy ra MI=12EDMI=21​ED; NK=12EDNK=21​ED; ED=12BCED=21​BC.

IK=MK−MI=12BC−12DE=DE−12DE=12DEIK=MK−MI=21​BC−21​DE=DE−21​DE=21​DE.

Vậy $MI=IK=KN$.

a) Vì $BM$, $CN$ là các đường trung tuyến của $\Delta ABC$ nên $MA=MC$, $NA=NB$.

Do đó $MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$, suy ra $MN$ // $BC$. (1)

Ta có $DE$ là đường trung bình của $\Delta GBC$ nên $DE$ // $BC$.  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $MN$ // $DE$.

b) Xét $\Delta ABG$, ta có $ND$ là đường trung bình.

Xét $\Delta ACG$, ta có $ME$ là đường trung bình.

Do đó $ND$ // $AG$, $ME$ // $AG$.

Suy ra $ND$ // $ME$.

a) Qua $D$ vẽ một đường thẳng song song với $BM$ cắt $AC$ tại $N$.

Xét $\Delta MBC$ có $DB=DC$ và $DN$ // $BM$ nên MN=NC=12MCMN=NC=21​MC (định lí đường trung bình của tam giác).

Mặt khác AM=12MCAM=21​MC, do đó AM=MN=12MCAM=MN=21​MC.

Xét $\Delta AND$ có $AM=MN$ và $BM$ // $DN$ nên $OA=OD$ hay $O$ là trung điểm của $AD$.

b) Xét $\Delta AND$ có $OM$ là đường trung bình nên OM=12DNOM=21​DN. (1)

Xét $\Delta MBC$ có $DN$ là đường trung bình nên DN=12BMDN=21​BM. (2)

Từ (1) và (2) suy ra OM=14BMOM=41​BM.

a) Kẻ $MN$ // $BD$, $N\in AC$.

$MN$ là đường trung bình trong $△CBD$

Suy ra $N$ là trung điểm của $CD$ (1).

$IN$ là đường trung bình trong $△AMN$

Suy ra $D$ là trung điểm của $AN$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra AD=12DCAD=21​DC.

b) Có ID=12MNID=21​MN; MN=12BDMN=21​BD, nên $BD=ID$.