a) Các số tự nhiên có hai chữ số nhỏ hơn 200 là: {10;11;…;199}10;  11;  …;  199 .

Vậy có 190 cách viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số nhỏ hơn 200.

b) Có 9 kết quả thuận lợi cho biến cố“Số tự nhiên được viết ra là số tròn trăm” là 100;200;300;400;500;600;700;800;900.100 ;  200 ;  300 ;  400 ;  500 ;  600 ;  700 ;  800 ;  900.  

Do đó, xác suất của biến cố “Số tự nhiên được viết ra là số tròn trăm” là: 91909190  .

Vì BD là đường phân giác của góc ABC nên:

ADDC=ABBC����  =  ���� (t/chất đường phân giác)

Suy ra: ADAD+DC=ABAB+BC����+​​��  =  ����+​  �� hay ADAC=ABAB+BC����  =  ����+​  ��

Mà ΔABC cân tại A nên AC = AB = 15 (cm)

Suy ra: AD15=1515+10⇒AD=15.1515+10=9��15=1515+​10⇒��=15.1515+10=9(cm)

Vậy DC = AC – AD = 15 – 9 = 6 (cm)

b) Vì BE ⊥ BD nên BE là đường phân giác góc ngoài tại đỉnh B

Suy ra : ECEA=BCBA�​���  =​​����( t/chất đường phân giác)

Suy ra: ECEC+CA=BCBA�​���+​��  =​​  ����  ⇒ EC.BA= BC (EC + AC)

Suy ra: EC.BA - EC.BC = BC.AC ⇒EC (BA - BC) = BC.AC

Vậy EC=BC.ACBA−BC=10.1515−10=30(cm)��=  ��.����​−  ��  = 10.1515−10  =30(��) .

M=x2+y2−xy−x+y+1�=�2+�2−��−�+�+1

4M=4x2+4y2−4xy−4x+4y+44�=4�2+4�2−4��−4�+4�+4

4M=(2x−y−1)2+3y2+2y+34�=(2�−�−1)2+3�2+2�+3

12M=3(2x−y−1)2+9y2+6y+912�=3(2�−�−1)2+9�2+6�+9

12M=(2x−y−1)2+(3y+1)2+812�=(2�−�−1)2+(3�+1)2+8

M≥13�≥13

⎧⎪
⎪⎨⎪
⎪⎩3y+1=0;y=−132x+13−1=0;x=−13

a) Xét Δ ABC có NA = NB; MA = MC

⇒ NM là đường trung bình của ΔABC

⇒ MN // BC;  MN = 1/2 BC   (1)

 Xét Δ GBC có: DG = DB;  EG = EC

⇒ ED  là đường trung bình của Δ GBC

⇒  ED // BC; ED = 1/2 BC

Từ (1) và (2) suy ra: MN // DE;  MN = ED

⇒ Tứ giác NMED là hình bình hành

⇒  ME // ND

a) Qua M kẻ MN // BD.

Trong $\Delta AMN$, có I là trung điểm của AM, $ID\parallel MN\Rightarrow AD=DN$.

Trong $\Delta BCD$, có M là trung điểm của BC,  $MN\parallel BD\Rightarrow ND=NC$.

$\Rightarrow AD=DN=NC\Rightarrow AD=\frac{1}{2}DC$.

Lấy D là trung điểm của cạnh BC.

Khi đó, AD là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên điểm G nằm trên cạnh AD.

Ta có $\frac{AG}{AD}=\frac{2}{3}$ hay $AG=\frac{2}{3}AD$.

Vì MG // AB, theo định lí Thalès, ta suy ra: $\frac{AG}{AD}=\frac{BM}{BD}=\frac{2}{3}$.

Ta có BD = CD (vì D là trung điểm của cạnh BC) nên $\frac{BM}{BC}=\frac{BM}{2BD}=\frac{2}{2.3}=\frac{1}{3}$.

Do đó $BM=\frac{1}{3}BC$ (đpcm).

Trong ΔADB, ta có: MN // AB (gt)

Suy ra:  hệ quả định lí ta-lét) (1)

Trong ΔACB, ta có: PQ // AB (gt)

Suy ra:  Hệ quá định lí Ta-lét) (2)

Lại có: NQ // AB (gt)

       AB // CD (gt)

Suy ra: NQ // CD

Trong ΔBDC, ta có: NQ // CD (chứng minh trên)

Suy ra: (Định lí Ta-lét) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra  hay MN = PQ

Xét tam giác ABC có BC ⊥ AB' và B'C'⊥ AB' nên suy ra BC // B'C'.

Theo hệ quả định lí Thalès, ta có:

$\frac{AB}{A{B}^{\prime }}=\frac{BC}{B{C}^{\prime }}\Rightarrow \frac{x}{x+h}=\frac{a}{a^{\prime }}\Rightarrow a^{\prime }x=a(x+h)\Rightarrow a^{\prime }x-ax=ah$

$\Rightarrow x\left(a^{\prime }-a\right)=ah\Rightarrow x=\frac{ah}{a^{\prime }-a}$ (đpcm)

Ta có: AB // CD (gt), áp dụng hệ quả của định lý Ta – lét ta có:

Suy ra (hệ quả định lí ta-lét)

Vậy OA.OD = OB.OC