Gọi N là trung điểm AB, I là trung điểm NC.

Khi đó \(N\left(2;1;2\right)\), \(I\left(1;3;3\right)\)

Ta có \(P=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right|=\left|2\overrightarrow{MN}+2\overrightarrow{MC}\right|=4\left|\overrightarrow{MI}\right|=4MI\)

\(\ge4IH\) với \(H\left(1;3;0\right)\) là hình chiếu của I lên mặt phẳng (Oxy)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow M\equiv H\Leftrightarrow M\left(1;3;0\right)\)

Vậy M(1; 3; 0)

 Xét khối khí lý tưởng là khối khí bị giam trong ống thủy ngân. Dễ thấy đây là quá trình đẳng nhiệt.

 Trạng thái 1: \(V_1=S.l_1=1.60=60\left(cm^3\right)\)

\(p_1=p_0+h=76+40=116cmHg\)

 Trạng thái 2: \(p_2=p_0+h\cos\alpha=76+40\cos60^o=96cmHg\)

 Áp dụng định luật Boyle, ta có:

 \(p_1V_1=p_2V_2\Rightarrow V_2=\dfrac{p_1V_1}{p_2}=\dfrac{116.60}{96}=72,5\left(cm^3\right)\)

 \(\Rightarrow\) Thể tích thủy ngân tràn ra ngoài là \(V_{tràn}=72,5-60=12,5\left(cm^3\right)=12,5.10^{-6}\left(m^3\right)\)

 \(\Rightarrow m_{Hg}=\rho_{Hg}V_{tràn}=13589.12,5.10^{-6}=0,1698625\left(kg\right)\approx170\left(g\right)\)

 Vậy khối lượng thủy ngân tràn ra ngoài là 170g.

 \(ℕ,ℤ,ℚ,ℝ,C\) lần lượt là tập hợp các số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực và số phức.

 Do đó \(ℕ\subsetℤ\subsetℚ\subsetℝ\subset C\)

 Nếu cái bạn đang nói đến là tích phân thì \(f\left(x\right)|^a_b=f\left(a\right)-f\left(b\right)\). 

 Ví dụ: Tính tích phân \(I=\int\limits^1_02xdx\)

 Giải: \(I=\int\limits^1_02xdx=x^2|^1_0=1^2-0^2=1\)

a) A chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 \(\Rightarrow\) A không là số chính phương.

b) \(100!⋮4\) và 7 chia 4 dư 3 nên \(100!+7\) chia 4 dư 3. Do đó nó cũng không phải là SCP.

c) B chia hết cho 11 nhưng không chia hết cho 11² nên B không là SCP.

Điều kiện: \(x\ge2;y\ge-2024;z\ge2025\)

Ta có \(\sqrt{x-2}=\sqrt{1.\left(x-2\right)}\le\dfrac{1+x-2}{2}=\dfrac{x-1}{2}\) (bđt Cô-si)

\(\sqrt{y+2024}=\sqrt{1.\left(y+2024\right)}\le\dfrac{1+y+2024}{2}=\dfrac{y+2025}{2}\)

\(\sqrt{z-2025}=\sqrt{1.\left(z-2025\right)}\le\dfrac{1+z-2025}{2}=\dfrac{z-2024}{2}\)

Cộng theo vế 3 bđt trên, ta có:

\(VP=\sqrt{x-2}+\sqrt{y+2024}+\sqrt{z-2025}\)

\(\le\dfrac{x-1}{2}+\dfrac{y+2025}{2}+\dfrac{z-2024}{2}\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)=VP\)

Như vậy dấu "=" phải xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2=1\\y+2024=1\\z-2025=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=-2023\\z=2026\end{matrix}\right.\) (nhận)

Vậy pt đã cho có nghiệm \(\left(x,y,z\right)=\left(3,-2023,2026\right)\)

hình bài 2

hình bài 1

1)

a) Tứ giác ABCD nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{ABC}=180^o-\widehat{ADC}\)

Tứ giác AEFD nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{AEF}=180^o-\widehat{ADF}=180^o-\widehat{ADC}\)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{AEF}\)

\(\Rightarrow\) EF//BC (2 góc đồng vị bằng nhau)

\(\Rightarrow\widehat{IMN}=\widehat{ICB}\) (2 góc so le trong)

Mà \(\widehat{ICB}=\widehat{ACB}=\widehat{ADB}=\widehat{ADN}\) nên \(\widehat{IMN}=\widehat{ADN}\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác AMND nội tiếp (góc ngoài bằng góc trong đối) (đpcm)

b) Tứ giác ABCD nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{BDC}\) hay \(\widehat{EAI}=\widehat{FDI}\)

Lại có \(\widehat{EAI}\) và \(\widehat{FDI}\) là các góc nội tiếp chắn các cung EI, FI của đường tròn (K)

\(\Rightarrow\stackrel\frown{EI}=\stackrel\frown{FI}\Rightarrow EI=FI\)

\(\Rightarrow\) I thuộc trung trực của đoạn EF.

Mà \(KE=KF\Rightarrow\) K cũng thuộc trung trực của đoạn EF

\(\Rightarrow\) IK là trung trực EF \(\Rightarrow IK\perp EF\)

Mà EF//BC (cmt) \(\Rightarrow IK\perp BC\) (đpcm)

2) 

Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho tam giác BCD cân tại B. Dễ thấy \(\Delta CBD\sim\Delta CAB\)

\(\Rightarrow\widehat{CBD}=\widehat{BAC}=\widehat{DAB}=36^o\)

\(\Rightarrow\widehat{DBA}=\widehat{CBA}-\widehat{DBC}=72^o-36^o=36^o\)

\(\Rightarrow\widehat{DAB}=\widehat{DBA}\)

\(\Rightarrow\Delta DAB\) cân tại D \(\Rightarrow DA=DB\)

Đặt \(DA=DB=BC=a\), \(CD=b\) \(\left(a>b\right)\)

Khi đó vì \(\Delta CBD\sim\Delta CAB\) nên \(\dfrac{a+b}{a}=\dfrac{a}{b}\) 

\(\Leftrightarrow ab+b^2=a^2\) 

\(\Leftrightarrow-a^2+ab+b^2=0\)

\(\Leftrightarrow-\left(\dfrac{a}{b}\right)^2+\dfrac{a}{b}+1=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\) (loại nghiệm \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\) vì \(\dfrac{a}{b}>1\))

hay \(\dfrac{a+b}{a}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\) hay \(\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\)

\(N=\dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)N=x^2+x+1\)

\(\Leftrightarrow Nx^2+N=x^2+x+1\)

\(\Leftrightarrow\left(N-1\right)x^2-x+N-1=0\) (*)

Có \(\Delta=\left(-1\right)^2-4\left(N-1\right)^2\) 

\(=1-\left(2N-2\right)^2\)

\(=\left(1+2N-2\right)\left(1-2N+2\right)\)

\(=\left(2N-1\right)\left(3-2N\right)\)

Để (*) có nghiệm thì \(\Delta=\left(2N-1\right)\left(3-2N\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\le N\le\dfrac{3}{2}\)

\(N=\dfrac{1}{2}\) khi \(x=-\dfrac{-1}{2\left(N-1\right)}=\dfrac{1}{2\left(\dfrac{1}{2}-1\right)}=-1\)

\(N=\dfrac{3}{2}\) khi \(x=-\dfrac{-1}{2\left(N-1\right)}=\dfrac{1}{2\left(\dfrac{3}{2}-1\right)}=1\)

Vậy \(minN=\dfrac{1}{2}\) khi \(x=-1\) và \(maxN=\dfrac{3}{2}\) khi \(x=1\)