a) Tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH nên \(BA^2=BH\cdot BC\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà theo đề bài, ta có \(BK=BA\) nên \(BK^2=BH\cdot BC\)

\(\rArr\frac{BK}{BC}=\frac{BH}{BK}\)

Xét các tam giác BKH và BCK, ta có \(\hat{CBK}\) chung và \(\frac{BK}{BC}=\frac{BH}{BK}\) nên \(\Delta BKH-\Delta BCK\left(c.g.c\right)\) (mình viết dấu "-" thay cho dấu đồng dạng nhé, vì ở đây không có kí hiệu đồng dạng)

\(\rArr\hat{BKH}=\hat{BCK}=\hat{DCK}\) (1)

Tam giác DIC vuông tại I có đường cao IL nên \(DI^2=DL\cdot DC\).

Theo đề bài, có \(DI=DK\) nên \(DK^2=DL\cdot DC\) \(\rArr\frac{DK}{DC}=\frac{DL}{DK}\)

Xét các tam giác DKL và DCK, ta có: \(\hat{CDK}\) chung và \(\frac{DK}{DC}=\frac{DL}{DK}\) nên \(\Delta DKL-\Delta DCK\left(c.g.c\right)\) \(\rArr\hat{DKL}=\hat{DCK}\) (2)

Từ (1) và (2) dễ dàng suy ra \(\hat{BKH}=\hat{DKL}\) (đpcm).

À câu d chỗ nào có X bạn thay bằng \(\overline{X}\) hết nhé, sau đó dùng \(P\left(\overline{X}\vert A\right)=1-P\left(X\vert A\right)\) để tìm mấy XS có đk kia nhé. Kết quả cuối cùng ra 0,928.

d) \(P\left(\overline{X}\vert A\right)=\frac{P\left(\overline{X}A\right)}{P\left(A\right)}\)

\(=\frac{P\left(\overline{X}AD\right)+P\left(\overline{X}AE\right)+P\left(\overline{X}AF\right)}{P\left(A\right)}\)

\(=\frac{P\left(A\right)\cdot P\left(D\vert A\right)\cdot P\left(X\vert D\right)+P\left(A\right)\cdot P\left(E\vert A\right)\cdot P\left(X\vert E\right)+P\left(A\right)\cdot P\left(F\vert A\right)\cdot P\left(X\vert F\right)}{P\left(A\right)}\)

\(=P\left(D\vert A\right)\cdot P\left(X\vert D\right)+P\left(E\vert A\right)\cdot P\left(X\vert E\right)+P\left(F\vert A\right)\cdot P\left(X\vert F\right)\)

\(\) \(=40\%\cdot4\%+40\%\cdot8\%+20\%\cdot12\%\)

\(=0,072\)

c) Có 120 máy, mà xác suất 1 máy bị hỏng là P(X) = 0,078 nên có 9,36 máy bị hỏng?

Mình check lại các phép tính đúng hết rồi nhé. Bạn xem lại đề giúp mình nhé.

b) Ta có P(BEX) = P(B)*P(E|B)*P(X|EB)

= P(B)*P(E|B)*P(X|E) (vì B và X độc lập)

= 5/12*50%*8%

= 1/60

P(BE|X) = P(BEX)/P(X)

= (1/60)/0,078

= 25/117

Gọi A, B, C lần lượt là các biến cố: "Máy thuộc loại A, B, C."

D, E, F lần lượt là các biến cố: "Máy được cung cấp bởi nhà máy D, E, F.

X là biến cố: "Máy bị lỗi."

Khi đó ta có P(A) = 1/3; P(B) = 5/12; P(C) = 1/4,

P(D|A) = 40%, P(E|A) = 40%, P(F|A) = 20%,

P(D|B) = 20%, P(E|B) = 50%, P(F|B) = 30%,

P(D|C) = 30%, P(E|C) = 50%, P(F|C) = 20%,

P(X|D) = 4%, P(X|E) = 8%, P(X|F) = 12%.

a) P(X) = P(D)*P(X|D) + P(E)*P(X|E) + P(F)*P(X|F)

= [P(A)*P(D|A) + P(B)*P(D|B) + P(C)*P(D|C)] * P(X|D) + [P(A)*P(E|A) + P(B)*P(E|B) + P(C)*P(E|C)] * P(X|E) + [P(A)*P(F|A) + P(B)*P(F|B) + P(C)*P(F|C)] * P(X|F)

= [1/3*40% + 5/12*20% + 1/4*30%]*4% + [1/3*40% + 5/12*50% + 1/4*50%]*8% + [1/3*20% + 5/12*30% + 1/4*20%]*12%

= 0,078

a) Ta thấy: \(a^3+b^3\ge a^2b+b^2a\)

\(\lrArr a^3+b^3-a^2b-b^2a\ge0\)

\(\lrArr\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)\ge0\)

\(\lrArr\left(a+b\right)\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)

\(\lrArr\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\) (1)

Vì a, b là số dương nên (1) luôn đúng. Vậy bđt đã cho luôn đúng.

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b\)

\(y=\sqrt{x^2-2x}\)

Tập xác định \(D=\left(-\infty;0\right\rbrack\cup\left\lbrack2;+\infty\right)\)

Có \(y^{\prime}=\frac{2x-2}{2\sqrt{x^2-2x}}=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}}\)

Xét \(y^{\prime}=0\lrArr x=1\) (loại)

Lập BBT, dễ thấy hàm số đã cho không có điểm cực trị.

Số phần tử của kgm: \(n\left(\Omega\right)=C_{12}^4\)

Gọi A là biến cố: "Có đúng 2 chiếc được ghép thành 1 đôi."

Ta chia A làm 2 giai đoạn:

GĐ 1: chọn trước 1 đôi giày. Khi đó có 6 cách.

GĐ 2: chọn 2 chiếc riêng lẻ còn lại. Ta sẽ chia GĐ này thành 2 GĐ con nhỏ hơn:

GĐ 2.1: chọn 2 đôi giày từ 5 đôi còn lại: Có \(C_5^2\) cách.

GĐ 2.2: chọn 2 chiếc giày khác nhau từ 2 đôi giày đó: Có 4 cách.

Vậy có tất cả \(6\cdot C_5^2\cdot4=240\) cách.

\(\rArr n\left(A\right)=240\)

\(\rArr P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}=\frac{240}{C_{12}^4}=\frac{16}{33}\)

Gọi \(I\left(a;b;c\right)\) là điểm trong không gian sao cho \(\overrightarrow{IA}-3\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\)

\(\lrArr\left(-a;1-b;1-c\right)-3\left(-5-a;-b;5-c\right)=\left(0;0;0\right)\)

\(\lrArr\left(15+2a;1+2b;2c-14\right)=\left(0;0;0\right)\)

\(\lrArr\left(a;b;c\right)=\left(-\frac{15}{2};-\frac12;7\right)\)

Vậy \(I\left(-\frac{15}{2};-\frac12;7\right)\)

Khi đó \(\left|\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}-3\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)\right|\)

\(=\left|-2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}-3\overrightarrow{IB}\right|\)

\(=2MI\)

Vậy ta cần tìm GTNN của MI. Dễ thấy MI đạt GTNN khi M là hình chiếu của I lên d.

Khi đó \(\min MI=d\left(I,d\right)\)

Ta thấy \(\overrightarrow{u}=\left(-1;1;2\right)\) và \(N\left(1;-2;0\right)\in d\)

\(\rArr\overrightarrow{NI}=\left(-\frac{17}{2};\frac32;7\right)\)

\(\rArr\left\lbrack\overrightarrow{u},\overrightarrow{NI}\right\rbrack=\left(-4;10;-7\right)\)

\(\rArr\min MI=d\left(I,d\right)=\frac{\left|[\overrightarrow{u},\overrightarrow{NI}]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}=\frac{\sqrt{\left(-4\right)^2+10^2+\left(-7\right)^2}}{\sqrt{\left(-1\right)^2+1^2+2^2}}=\frac{\sqrt{110}}{2}\)

Vậy \(\min\left|\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}\right|=\min2MI=\sqrt{110}\)

Vậy \(a=110\)