Ta có \(\widehat{B}=180^o-75^o=105^o\)

\(\Rightarrow\widehat{C}=180^o-\widehat{A}-\widehat{B}=180^o-30^o-75^o=75^o\)

Áp dụng định lý sin, ta có:

\(\dfrac{AB}{sinC}=\dfrac{AC}{sinB}=\dfrac{BC}{sinA}\)

\(\Rightarrow\dfrac{25}{sin75^o}=\dfrac{AC}{sin75^o}=\dfrac{BC}{sin30^o}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AC=25m\\BC=\dfrac{25sin30^o}{sin75^o}\approx12,94m\end{matrix}\right.\)

Có \(a^4+b^4+c^4=\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2+\left(c^2\right)^2\)

\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3}\) 

\(\ge\dfrac{\left(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\right)^2}{3}\)  (áp dụng 2 lần BĐT \(x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\))

\(=\dfrac{\left(\dfrac{4^2}{3}\right)^2}{3}=\dfrac{256}{27}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{4}{3}\)

Vậy \(minP=\dfrac{256}{27}\) khi \(a=b=c=\dfrac{4}{3}\)

 Gọi A, B, C lần lượt là các biến cố: "Khách hàng trả lời "sẽ sử dụng"."; "Khách hàng trả lời "có thể sẽ sử dụng"." và "Khách hàng trả lời "không sử dụng"." và X là biến cố: "Khách hàng sử dụng dịch vụ."

 Khi đó theo đề bài, ta có \(P\left(A\right)=\dfrac{17}{100};P\left(B\right)=\dfrac{48}{100};P\left(C\right)=\dfrac{35}{100};P\left(X|A\right)=0,4;P\left(X|B\right)=0,2;P\left(X|C\right)=0,01\)

 Theo công thức xác suất đầy đủ: 

\(P\left(X\right)=P\left(A\right)P\left(X|A\right)+P\left(B\right)P\left(X|B\right)+P\left(C\right)P\left(X|C\right)\)

\(=\dfrac{17}{100}.0,4+\dfrac{48}{100}.0,2+\dfrac{35}{100}.0,01=\dfrac{67}{400}=0,1675=16,75\%\)

Vậy tỉ lệ khách hàng sử dụng dịch vụ là \(16,75\%\)

Giả sử tất cả các con vật đều là thỏ thì số chân bị thừa là:

\(30.4-74=46\) (chân)

Nếu thay 1 con thỏ bằng 1 con gà thì số chân giảm đi 2. Do đó số gà là:

\(46:2=23\) (con)

Khi đó số thỏ là:

\(30-23=7\) (con)

Đáp số: 7 con

 Gọi T là giao điểm của AB và CD, S là giao điểm của (PDC) và (PAB), K là giao điểm của AC và BD, J là giao điểm của (KAD) và (KBC).

 Khi đó dễ thấy \(TA.TB=TC.TD\) nên \(P_{T/\left(PAB\right)}=P_{T/\left(PCD\right)}\) hay T thuộc trục đẳng phương PS của (PAB) và (PCD). Suy ra T, S, P thẳng hàng.

 Ta thấy \(PA.PD=PB.PC\) nên \(P_{P/\left(KAD\right)}=P_{P/\left(KBC\right)}\) hay P thuộc trục đẳng phương KJ của (KAD) và (KBC). Suy ra P, K, J thẳng hàng.

 Lại có \(\widehat{AJB}=\widehat{AJK}+\widehat{BJK}=\widehat{ADB}+\widehat{ACB}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AB}+\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AB}=sđ\stackrel\frown{AB}=\widehat{AOB}\)nên tứ giác ABOJ nội tiếp.

 Tương tự, ta cũng có tứ giác DCOJ nội tiếp.

 Ta có \(TA.TB=TC.TD\) nên \(P_{T/\left(ABOJ\right)}=P_{T/\left(DCOJ\right)}\) hay T thuộc trục đẳng phương OJ của (ABOJ) và (DCOJ). Suy ra T, O, J thẳng hàng.

 Mặt khác, \(\widehat{AJK}=\widehat{ADB}=\widehat{ACB}=\widehat{BJK}\) nên JK là tia phân giác của \(\widehat{AJB}\)

 \(\widehat{TJA}=\widehat{OBA}=\widehat{OAB}=\widehat{OJB}\) nên JT là phân giác ngoài của \(\widehat{AJB}\)

 Do đó \(JK\perp JT\) hay \(PK\perp TO\). Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được \(TK\perp PO\). Do đó O là trực tâm tam giác PTK

 \(\Rightarrow KO\perp PT\)

 Lại có \(\widehat{TDS}=\widehat{SPC}=\widehat{TAS}\) nên tứ giác ADTS nội tiếp. Do đó: \(PK.PJ=PA.PD=PS.PT\), suy ra tứ giác KJTS nội tiếp

 \(\Rightarrow\widehat{KST}=180^o-\widehat{KJT}=90^o\) hay \(KS\perp PT\)

 Từ đó suy ra K, S, O thẳng hàng và đường thẳng này vuông góc với PT \(\Rightarrow SO\perp PT\)

 Dễ thấy \(SQ\perp PT,SR\perp PT\) (vì PQ, PR lần lượt là đường kính của (PAB) và (PCD). \(\Rightarrow\) Q, O, R thẳng hàng (đpcm)

 \(\left|\Omega\right|=14!\)

 Gọi A là biến cố "5 học sinh nữ đứng cạnh nhau."

 Xem 5 bạn nữ là 1 nhóm. Khi đó số cách đặt nhóm này vào 14 vị trí là 10 cách.

 Có \(5!\) cách xếp 5 bạn nữ trong nhóm và \(9!\) cách xếp 9 bạn nam vào 9 vị trí còn lại.

 Do đó \(\left|A\right|=10.5!.9!\)

 Như vậy \(P\left(A\right)=\dfrac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|}=\dfrac{10.5!.9!}{14!}=\dfrac{5}{1001}\)

 \(\left\{{}\begin{matrix}V+v=18\\V-v=12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left(V,v\right)=\left(15,3\right)\)

 Đặt \(AB=s\left(km\right)\) thì \(t_{xuôi}=\dfrac{s}{18}\left(h\right),t_{ngược}=\dfrac{s}{12}\left(h\right)\) 

 Theo đề bài, ta có: \(\dfrac{s}{18}+\dfrac{s}{12}=2,5\Leftrightarrow s=18\left(km\right)\)

 Nếu vận tốc dòng nước là \(v\left(km/h\right)\) và vận tốc thực của thuyền là \(V\left(km/h\right)\) thì:

 \(\left\{{}\begin{matrix}V+v=18\\V-v=12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left(V,v\right)=\left(15,3\right)\). Vậy \(v_{nước}=3km/h\)

 Có \(t_{xuôi}=\dfrac{s}{18}=\dfrac{18}{18}=1\left(h\right)\), \(t_{ngược}=\dfrac{s}{12}=\dfrac{18}{12}=1,5\left(h\right)\)

 Cho \(-2021\pi\le\dfrac{k\pi}{2}\le2021\pi\Leftrightarrow-4042\le k\le4042\), mà \(k\inℤ\) nên có tổng cộng là \(8085\) nghiệm.

 Vì \(n\) là số tự nhiên khác 0 nên  \(n^2+n+1>n^2\) và \(n^2+n+1< n^2+2n+1=\left(n+1\right)^2\)

 Do đó \(n^2< n^2+n+1< \left(n+1\right)^2\) 

 \(\Rightarrow n^2+n+1\) không thể là số chính phương (vì nó nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp)