Câu a sai đề rồi nhé. Cho \(n=6\) thì \(\frac{2n+1}{30n+2}=\frac{13}{182}\) không phải phân số tối giản vì \(\frac{13}{182}=\frac{1}{14}\)

b) \(M=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots+\frac{1}{100^2}\)

\(<\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\cdots+\frac{1}{99\cdot100}\)

\(=\frac{2-1}{1\cdot2}+\frac{3-2}{2\cdot3}+\frac{4-3}{3\cdot4}+\cdots+\frac{100-99}{99\cdot100}\)

\(=1-\frac12+\frac12-\frac13+\frac13-\frac14+\cdots+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(=1-\frac{1}{100}\)

\(<1\)

Vậy \(M<1\)

Với \(q=2\) thì \(N=2^{q}+7=2^2+7=11\) là số nguyên tố (nhận).

Với \(q\ge3\) thì do q là số nguyên tố nên \(q\) lẻ. Do 2 chia 3 dư \(-1\) nên \(2^{q}\) cũng chia 3 dư \(-1\) (vì q lẻ), suy ra \(N=2^{q}+7\) có cùng số dư với \(-1+7=6\) khi chia cho 3, nghĩa là N chia hết cho 3.

Vậy \(q=2\)

Nếu \(p\) là số nguyên tố lẻ thì dễ thấy \(p^{q}+2^{p}+3\) là số chẵn lớn hơn 2, vô lý. Vậy \(p=2\). Khi đó \(N=p^{q}+2^{p}+3=2^{q}+2^2+3=2^{q}+7\)

Với \(q=2\) thì \(N=2^2+7=11\) là số nguyên tố (nhận).

Với \(q\ge3\) thì \(N=2^{q}+7\) chia hết cho 3 nên nó là hợp số (loại).

Vì sao \(q=2\) lại thỏa mãn còn \(q\ge3\) thì không?

Đó là vì \(q=2\) là số nguyên tố chẵn duy nhất. Do 2 chia cho 3 có số dư là \(-1\) nên đem bình phương lên nó sẽ thành 1, cộng thêm 7 thành 8, không chia hết cho 3.

Nhưng với \(q\ge3\) thì lại khác.

Khi đó vì q là số nguyên tố nên q lẻ, mà \(-1\) mũ lẻ vẫn là \(-1\), khi cộng với 7 sẽ là 6, chia hết cho 3. Vì vậy, với mọi số nguyên tố \(q\ge3\) thì \(N=2^{q}+7\) luôn là hợp số.

Như vậy, ta tìm được duy nhất 1 cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(p=q=2\).

GIả sử \(VT=\left(x+ay+b\right)\left(x+cy+d\right)+k\)

Khi đó \(VT=x^2+cxy+dx+axy+acy^2+ady+bx+bcy+bd+k\)

\(VT=x^2+cay^2+\left(a+c\right)xy+\left(b+d\right)x+\left(ad+bc\right)y+bd+k\)

Đồng nhất hệ số, ta được \(\begin{cases}ca=8\left(1\right)\\ a+c=-6\left(2\right)\\ b+d=2\left(3\right)\\ ad+bc=-5\left(4\right)\end{cases}\) và \(bd+k=-1\) (5)

Từ \(\left(2\right)\lrArr c=-6-a\), thế vào (1) ta được \(\left(-6-a\right)a=8\)

\(\lrArr-a^2-6a=8\)

\(\lrArr a^2+6a+8=0\)

\(\lrArr a^2+2a+4a+8=0\)

\(\lrArr a\left(a+2\right)+4\left(a+2\right)=0\)

\(\lrArr\left(a+2\right)\left(a+4\right)=0\)

\(\lrArr\left[\begin{array}{l}a=-2\\ a=-4\end{array}\right.\)

Nếu \(a=-2\rArr c=-4\) , \(a=-4\rArr c=-2\) , nhưng do a và c có vai trò như nhau trong VT nên không mất tổng quát, ta chọn \(a=-2,c=-4\). Thế vào (4), ta có \(-2d-4b=-5\) hay \(4b+2d=5\). (6)

Lại có \(\left(3\right)\lrArr d=2-b\) , thế vào (6), ta được \(4b+2\left(2-b\right)=5\lrArr b=\frac12\), suy ra \(d=\frac32\). Thế vào (5), suy ra \(k=-\frac74\)

Như vậy pt đã cho tương đương với \(\left(x-2y+\frac12\right)\left(x-4y+\frac32\right)-\frac74=0\)

Nhân cả 2 vế của pt này với 4 rồi chuyển vế, ta được \(\left(2x-4y+1\right)\left(2x-8y+3\right)=7\)

Ta xét các trường hợp:

Vậy pt đã cho có 4 nghiệm nguyên (x, y) là \(\left(-2,-1\right);\left(3,2\right);\left(7,2\right);\left(-6,-1\right)\)

c) đkxđ: \(-1\le x\le4\)

pt đã cho tương đương với:

\(x\left(x+1\right)\left(x-3\right)=\left\lbrack\sqrt{4-x}+\left(\frac13x-2\right)\right\rbrack+\left\lbrack\sqrt{1+x}-\left(\frac13x+1\right)\right\rbrack\)

\(\lrArr x\left(x+1\right)\left(x-3\right)=\frac{4-x-\left(\frac13x-2\right)^2}{\sqrt{4-x}-\left(\frac13x-2\right)}+\frac{1+x-\left(\frac13x+1\right)^2}{\sqrt{1+x}-\left(\frac13x+1\right)}\)

\(\lrArr x\left(x+1\right)\left(x-3\right)=\frac{-\frac19x^2+\frac13x}{\sqrt{4-x}-\frac13x+2}+\frac{-\frac19x^2+\frac13x}{\sqrt{1+x}+\frac13x+1}\)

\(\lrArr x\left(x+1\right)\left(x-3\right)=\frac{-\frac19x\left(x-3\right)}{\sqrt{4-x}-\frac13x+2}+\frac{-\frac19x\left(x-3\right)}{\sqrt{1+x}+\frac13x+1}\)

\(\lrArr\left[\begin{array}{l}x\left(x-3\right)=0\left(1\right)\\ x+1=\frac{-1}{9\left(\sqrt{4-x}-\frac13x+2\right)}+\frac{-1}{9\left(\sqrt{1+x}+\frac13x+1\right)}\left(2\right)\end{array}\right.\)

(1) \(\lrArr\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=3\end{array}\right.\) (nhận)

(2) vô nghiệm vì VT>0 trong khi VP<0.

Vậy tập nghiệm của pt đã cho là \(S=\left\lbrace0;3\right\rbrace\)

Nhận thấy các số hạng trong phương trình đã cho đều chứa số chính phương nên ta sẽ lợi dụng tính chất của chúng, cụ thể là tính chất chia hết. Hơn nữa, ta thấy \(98=2\cdot7^2\) nên ta sẽ xét số dư của số chính phương với 7.

Mỗi số chính phương khi chia cho 7 sẽ chỉ có các số dư là 0, 1, 2, 4.

Chứng minh: Giả sử số chính phương đó là \(N=n^2\left(n\in N\right)\). (1)

Nếu n chia hết cho 7 thì hiển nhiên N chia hết cho 7 (chia 7 dư 0).

Nếu n chia 7 dư 1 thì \(n=7k+1\left(k\in N\right)\) thì \(N=\left(7k+1\right)^2=49k^2+14k+1\) chia 7 dư 1.

Nếu n chia 7 dư 2 thì \(n=7k+2\left(k\in N\right)\) thì \(N=\left(7k+2\right)^2=49k^2+28k+4\) chia 7 dư 4.

Nếu n chia 7 dư 3 thì \(n=7k+3\left(k\in N\right)\) thì \(N=\left(7k+3\right)^2=49k^2+42k+9\) chia 7 dư 2.

Nếu n chia 7 dư 4 thì \(n=7k+4\left(k\in N\right)\) thì \(N=\left(7k+4\right)^2=49k^2+56k+16\) chia 7 dư 2.

Nếu n chia 7 dư 5 thì \(n=7k+5\left(k\in N\right)\) thì \(N=\left(7k+5\right)^2=49k^2+70k+25\) chia 7 dư 4.

Nếu n chia 7 dư 6 thì \(n=7k+6\left(k\in N\right)\) thì \(N=\left(7k+6\right)^2=49k^2+84k+36\) chia 7 dư 1.

Như vậy ta thấy với mọi n thì \(n^2\) chia 7 chỉ có các số dư là 0, 1, 2, 4. Vậy (1) được chứng minh.

Phương trình đã cho \(6a^2+7b^2=15c^2\lrArr15c^2-6a^2=7b^2\) , suy ra \(15c^2-6a^2=7b^2\) (2)

Ta thấy \(c^2\) chia 7 dư 0, 1, 2, 4 (theo (1)) nên \(15c^2\) chia 7 dư 0, 1, 2, 4.

\(a^2\) chia 7 dư 0, 1, 2, 4 (theo (1)) nên \(6a^2\) chia 7 dư 0, 6, 5, 3.

Nhận thấy rằng \(15c^2\) và \(6a^2\) luôn có các số dư khác nhau khi chia cho 7 trừ khi cả a và c đều chia hết cho 7. Vì vậy nên để (2) xảy ra thì a và c đều phải chia hết cho 7, suy ra \(abc\) chia hết cho 49. (3)

Bây giờ ta chỉ việc chứng minh \(abc\) chia hết cho 2. Giả sử trong 3 số a, b, c không có số nào chẵn thì \(a^2,b^2,c^2\) chia 4 chỉ có thể dư 1 (tính chất của số chính phương). Do đó xét phương trình đã cho \(6a^2+7b^2=15c^2\) thì vế trái chia 4 dư 13 (tức là dư 1) còn vế phải chia 4 dư 15 (tức là dư 3), vô lý. Vậy điều giả sử là sai, suy ra phải có ít nhất 1 trong 3 số a, b, c là số chẵn, hay \(abc\) chia hết cho 2. (4)

Do \(ƯCLN\left(2,49\right)=1\) nên từ (3) và (4), ta suy ra \(abc\) chia hết cho \(2\cdot49=98\). Ta có đpcm.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC và O là giao điểm của AC và BD. Khi đó dễ thấy MN là đường trung bình của hình thang ABCD, suy ra \(MN=\frac{AB+CD}{2}\).

Mà \(AB+CD=2HB\) (theo đề bài) nên \(MN=\frac{AB+CD}{2}=\frac{2HB}{2}=HB\) (1)

Mặt khác, tam giác BHC vuông tại H có trung tuyến HN nên \(NH=NC=\frac{BC}{2}\), suy ra tam giác NHC cân tại N, dẫn đến \(\hat{NHC}=\hat{NCH}\) hay \(\hat{NHC}=\hat{BCD}\) (2)

Lại có tứ giác ABCD là hình thang cân (AB//CD) nên \(\hat{BCD}=\hat{ADC}\) (3)

Từ (2) và (3), suy ra \(\hat{NHC}=\hat{ADC}\), suy ra NH//DM (2 góc đồng vị bằng nhau) (4)

Hơn nữa, vì MN là đường trung bình của hình thang cân ABCD (AB//CD) nên MN//CD hay MN//DH. (5)

Từ (4) và (5) suy ra tứ giác DHNM là hình bình hành (2 cặp cạnh đối song song), suy ra \(DH=MN\). Mà \(MN=BH\) (theo (1)) nên \(DH=BH\).

Tam giác BDH vuông tại H có \(DH=BH\) nên nó là tam giác vuông cân tại H, suy ra \(\hat{BDH}=45^{o}\) hay \(\hat{ODC}=45^{o}\).

Vì ABCD là hình thang cân (AB//CD) nên dễ thấy \(\hat{OCD}=\hat{ODC}\) (cái này quá dễ thấy rồi mình không cần chứng minh nữa nhé), suy ra \(\hat{OCD}=\hat{ODC}=45^{o}\) , từ đó dễ thấy tam giác OCD vuông cân tại O, hay \(\hat{COD}=90^{o}\), cũng tức là AC vuông góc với BD. Ta có đpcm.

Nếu cho \(a=8\) thì vế trái của phép tính trên thành \(\overline{8bcd}+\overline{8bc}+\overline{8b}+8\). Khi đó, dù có cho b, c, d lớn nhất, nghĩa là \(b=c=d=9\), thì vế trái sẽ chỉ bằng \(8999+899+89+8=9995<11106\), vô lý. Tương tự với trường hợp \(a<8\). Vậy \(a=9\).

Khi đó phép toán đã cho trở thành \(\overline{9bcd}+\overline{9bc}+\overline{9b}+9=11106\)

hay \(9000+\overline{bcd}+900+\overline{bc}+90+b+9=11106\)

hay \(\overline{bcd}+\overline{bc}+\overline{b}=1107\) (1)

Nếu cho \(b=8\) thì vế trái của (1) trở thành \(\overline{8cd}+\overline{8c}+8\) . Khi đó dù có cho \(c=d=9\) thì vế trái chỉ bằng \(899+89+8=996<1107\), vô lý. Tương tự nếu \(b<8\). Vậy \(b=9\).

Khi đó (1) trở thành \(\overline{9cd}+\overline{9c}+9=1107\)

hay \(900+\overline{cd}+90+c+9=1107\)

hay \(\overline{cd}+c=108\) (2)

Tới đây, nếu cho \(c=8\) thì vế trái của (2) thành \(\overline{8d}+8\le89+8=97<108\), vô lý. Tương tự với \(c<8\) Vậy \(c=9\).

Khi đó (2) thành \(\overline{9d}+9=108\)

hay \(90+d+9=108\)

hay \(d=9\)

Vậy ta tìm được \(a=b=c=d=9\)

Thử lại: \(9999+999+99+9=11106\) (luôn đúng). Vậy \(a=b=c=d=11106\)

Nếu bạn không xem được hình thì bạn vào trang cá nhân của mình xem nhé.