a) Xét $\Delta ABD$ và $\Delta EBD$, có:

$\widehat{BAD}=\widehat{BED}=90^{\circ }$

$BD$ là cạnh huyền chung.

$\widehat{ABD}=\widehat{EBD}$

Vậy $\Delta ABD=\Delta EBD$ (cạnh huyền - góc nhọn)

b) Vi $\Delta ABD=\Delta EBD(cmt)$

Suy ra $AB=EB$

Do đó : $\Delta ABE$ cân tại $B$.

c) Ta có $BA$ là đường vuông góc, $BC$ là đường xiên.

Suy ra $BA<BC$.

ọi $x,y$ lần lượt là số sách quyên góp được của mỗi lớp $\left(x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right)$

Theo đầu bài ta có: $\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{32}=\genfrac{}{}{0ex}{}{y}{36}$ và $y-x=8$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:

$\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{32}=\genfrac{}{}{0ex}{}{y}{36}=\genfrac{}{}{0ex}{}{y-x}{36-32}=\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{4}=2$

Suy ra $x=32.2=64;y=36.2=72$

Vậy lớp 7A quyên góp được $64$ quyển.

Lớp 7B quyên góp được $72$ quyển.

a) Hệ số tỉ lệ $k=a.b=3.(-10)=-30$.

b) Ta có: $a.b=-30$. Với $a=2$ suy ra $-30:2=-15$.

a) $\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{b}=\genfrac{}{}{0ex}{}{c}{d}=\genfrac{}{}{0ex}{}{e}{f}=\genfrac{}{}{0ex}{}{a+c+e}{b+d+f}$.

b) $\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{4}=\genfrac{}{}{0ex}{}{y}{7}=\genfrac{}{}{0ex}{}{x+y}{4+7}=\genfrac{}{}{0ex}{}{55}{11}=5$;

Suy ra $x=4.5=20;y=7.5=35$.

a) $\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{5}:\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}=1:2,5$.

b) $\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}=\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{9}$ suy ra $x=\genfrac{}{}{0ex}{}{5.9}{3}=15$.

a) Do $MA\perp AB$ và $NA\perp AC$ nên $\widehat{BAM}=\widehat{CAN}=90^{\circ }$.

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AB=AC$ và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

Xét hai tam giác $BAM$ và $CAN$ có:

     $\widehat{ABM}=\widehat{ACN}$;

     $AB=AC$ (cmt);

     $\widehat{BAM}=\widehat{CAN}$;

Vậy $\Delta BAM=\Delta CAN$ (g.c.g).

b) $\Delta BAM=\Delta CAN$ suy ra $BM=CN$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $BM=BN+NM$ và $CN=CM+MN$.

Suy ra $BN=CM$.

c) Xét tam giác $ABC$ có: $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180^{\circ }$.

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ nên $2\widehat{ABC}=180^{\circ }-\widehat{BAC}=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$.

Do đó $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=30^{\circ }$.

Do $△BAM=△CAN$ (cmt) nên $AM=AN$ (hai cạnh tương ứng).

Do đó tam giác $AMN$ cân tại $A$ (1).

Xét tam giác $CAN$ vuông tại $A$ có $\widehat{ANC}+\widehat{ACN}=90^{\circ }$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).

Do đó $\widehat{ANC}=90^{\circ }-\widehat{ACN}=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra tam giác $AMN$ đều.

Do đó $\widehat{MAN}=60^{\circ }$.

Ta có: $\widehat{MAN}+\widehat{NAB}=\widehat{MAB}$.

Suy ra $\widehat{NAB}=\widehat{MAB}-\widehat{MAN}=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$.

Do đó $\widehat{NAB}=\widehat{ABN}=30^{\circ }$.

Suy ra tam giác $ANB$ cân tại $N$.

Gọi số máy cày của ba đội lần lượt là $x$, $y$, $z$ (máy).

Vì diện tích cày là như nhau nên số máy cày và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Nên $x.5=y.6=z.8\Rightarrow \genfrac{}{}{0ex}{}{x}{24}=\genfrac{}{}{0ex}{}{y}{20}=\genfrac{}{}{0ex}{}{z}{15}$.

Đội thứ hai có nhiều hơn đội thứ ba $5$ máy nên $y-z=5$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{24}=\genfrac{}{}{0ex}{}{y}{20}=\genfrac{}{}{0ex}{}{z}{15}=\genfrac{}{}{0ex}{}{y-z}{20-15}=\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{5}=1$

Suy ra $x=24$; $y=20$; $z=15$.

Từ $2x=5y$ ta suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{5}=\genfrac{}{}{0ex}{}{y}{2}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{5}=\genfrac{}{}{0ex}{}{y}{2}=\genfrac{}{}{0ex}{}{3x}{15}=\genfrac{}{}{0ex}{}{4y}{8}=\genfrac{}{}{0ex}{}{3x+4y}{15+8}=\genfrac{}{}{0ex}{}{46}{23}=2$

Suy ra $x=2.5=10$;

$y=2.2=4$.

a) $\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{-3}=\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{4}$

$x=\genfrac{}{}{0ex}{}{7.(-3)}{4}$

$x=\genfrac{}{}{0ex}{}{-21}{4}$.

b) $\genfrac{}{}{0ex}{}{x+9}{15-x}=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}$

$(15-x).2=(x+9).3$

$30-2x=3x+27$

$5x=3$

$x=\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{5}$.

a. Xét tam giác $ABM$ và tam giác $MEC$ có:

   $BM=MC$ ($M$ là trung điểm $BC$)

   $\widehat{AMB}=\widehat{CME}$(đối đỉnh)

   $AM=ME$ (gt)

Suy ra $\Delta AMB=\Delta EMC$ (c.g.c)

b. Xét tam giác $ABH$ vuông tại $H$ và tam giác $BHD$ vuông tại $H$ có:

  $BH$ là cạnh chung

  $AH=DH$ (gt)

Suy ra $\Delta ABH=\Delta DBH$ (c.g.c)

Suy ra $AB=BD$ (cặp cạnh tương ứng) (1)

Ta lại có: $\Delta AMB=\Delta EMC$ (cmt) suy ra $AB=CE$  (2).

Từ (1) và (2) suy ra $CE=BD.$

c. Vì $\Delta ABH=\Delta DBH$ nên $AH=DH$ (cặp cạnh tương ứng).

Xét $\Delta AHM$ và $\Delta DHM$ đều vuông tại $H$:

   $AH=DH$

   Chung cạnh $HM$

Suy ra $\Delta AHM=\Delta DHM$ (c.g.c).

Suy ra $AM=DM$ (cặp cạnh tương ứng).

Vậy tam giác $AMD$ là tam giác cân tại $M.$