Ta có: Δ=m2−4(m2−m−3)=3m2−4m−12Δ=m2−4(m2−m−3)=3m2−4m−12 .

Điều kiện để phương trình có nghiệm là: $\Delta \ge 0$

m2−4(m2−m−3)≥0m2−4(m2−m−3)≥0

3m2−4m−12≤03m2−4m−12≤0 (1) 

Vì độ dài cạnh của tam giác vuông là số dương nên x1,x2>0x1​,x2​>0.

Theo định lí Viète, ta có {x1+x2=m>0x1.x2=m2−m−3>0{​x1​+x2​=m>0x1​.x2​=m2−m−3>0​ (2).

Từ giả thiết suy ra x12+x22=4x12​+x22​=4 suy ra (x1+x2)2−2x1.x2=4(x1​+x2​)2−2x1​.x2​=4.

Do đó m2−2(m2−m−3)=4m2−2(m2−m−3)=4

m2−2m−2=0m2−2m−2=0

m=1±3m=1±3​

Thay m=1±3m=1±3​ vào (1) ta thấy m=1+3m=1+3​ thỏa mãn.

Vậy giá trị cần tìm là m=1+3m=1+3​.

Phương trình x2−2x+m−1=0x2−2x+m−1=0 có Δ′=1−m+1=2−mΔ′=1−m+1=2−m.

Phương trình đã cho có nghiệm khi Δ′≥0Δ′≥0

$2-m\ge 0$

$m\le 2$

Khi đó theo định li Viète ta có: x1+x2=2;x1x2=m−1x1​+x2​=2;x1​x2​=m−1

Do x1;x2x1​;x2​ là nghiệm của phương trình x2−2x+m−1=0x2−2x+m−1=0 nên ta có:

{x12=2x1−m+1x22=2x2−m+1{x12​=2x1​−m+1x22​=2x2​−m+1​

Theo bài ra ta có:

x14−x13=x24−x23x14​−x13​=x24​−x23​

x14−x24−(x13−x23)=0x14​−x24​−(x13​−x23​)=0

(x12+x22)(x12−x22)−(x1−x2)(x12+x1x2+x22)=0(x12​+x22​)(x12​−x22​)−(x1​−x2​)(x12​+x1​x2​+x22​)=0

(2(x1+x2)−2m+2)(2x1−m+1−2x2+m−1)−(x1−x2)[2(x1+x2)−2m+2+m−1]=0(2(x1​+x2​)−2m+2)(2x1​−m+1−2x2​+m−1)−(x1​−x2​)[2(x1​+x2​)−2m+2+m−1]=0

(2.2−2m+2).2(x1−x2)−(x1−x2)(2.2−m+1)=0(2.2−2m+2).2(x1​−x2​)−(x1​−x2​)(2.2−m+1)=0

(x1−x2)(2(6−2m)−5+m)=0(x1​−x2​)(2(6−2m)−5+m)=0

(x1−x2)(3m+7)=0(x1​−x2​)(3m+7)=0

x1=x2x1​=x2​; m=73m=37​ (ktm)

Thay x1=x2x1​=x2​ vào (1) ta được:

{2x1=2x12=m−1{2x1​=2x12​=m−1​

{x1=1m=2(tm){x1​=1m=2(tm)​

Vậy $m=2$.

Xét phương trình x2−2mx+4m−4=0x2−2mx+4m−4=0

Phương trình đã cho có hai nghiệm x1x1​, x2x2​ khi Δ′>0Δ′>0

m2−4m+4>0m2−4m+4>0

(m−2)2>0(m−2)2>0

$m-2\ne 0$

$m\ne 2$

Với $m\ne 2$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm x1x1​, x2x2​.

Áp dụng hệ thức Viète ta có: x1+x2=−ba=2mx1​+x2​=a−b​=2m;

x1.x2=ca=4m−4x1​.x2​=ac​=4m−4

Theo đề bài ta có:

x12+x22−8=0x12​+x22​−8=0

(x1+x2)2−2x1x2−8=0(x1​+x2​)2−2x1​x2​−8=0

(2m)2−2.(4m−4)−8=0(2m)2−2.(4m−4)−8=0

4m2−8m+8−8=04m2−8m+8−8=0

4m2−8m=04m2−8m=0

$4m(m-2)=0$

$4m=0$ hoặc $m-2=0$

$m=0$ (thỏa mãn) hoặc $m=2$ (không thỏa mãn điều kiện)

Vậy $m=0$.

Phương trình x2−mx+m−2=0x2−mx+m−2=0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\Delta >0$.

(−m)2−4(m−2)>0(−m)2−4(m−2)>0

m2−4m+8>0m2−4m+8>0

(m−2)2+4>0(m−2)2+4>0 (luôn đúng).

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1;x2x1​;x2​.

Theo hệ thức Viète ta có: x2+x2=mx2​+x2​=m; x1x2=m−2x1​x2​=m−2.

Theo bài ra ta có:

x1−x2=25x1​−x2​=25​

(x1−x2)2=20(x1​−x2​)2=20

x12+x22−2x2x2=20x12​+x22​−2x2​x2​=20

(x12+x22+2x1x2)−4x1x2=20(x12​+x22​+2x1​x2​)−4x1​x2​=20

(x1+x2)2−4x1x2=20(x1​+x2​)2−4x1​x2​=20

m2−4(m−2)=20m2−4(m−2)=20

m2−4m−12=0m2−4m−12=0 (1)

Ta có Δ(1)′=22−1.(−12)=16>0Δ(1)′​=22−1.(−12)=16>0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

m1=2+161=6;m1​=12+16​​=6; m2=2−161=−2m2​=12−16​​=−2.

Ta có: Δ′=(−1)2−m+1=2−mΔ′=(−1)2−m+1=2−m

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1;x2x1​;x2​ thì Δ′>0Δ′>0

$2-m>0$

$m<2$.

Giả sử phương trình có hai nghiệm phân biệt x1x1​; x2x2​, theo định lí Viète ta có:

x1+x2=2x1​+x2​=2; x1x2=m−1x1​x2​=m−1

Khi đó, x12+x22−x1x2+x12x22−14=0x12​+x22​−x1​x2​+x12​x22​−14=0 trở thành

(x1+x2)2−3x1x2+x12x22−14=0(x1​+x2​)2−3x1​x2​+x12​x22​−14=0

22−3(m−1)+(m−1)2−14=022−3(m−1)+(m−1)2−14=0

4−3m+3+m2−2m+1−14=04−3m+3+m2−2m+1−14=0

m2−5m−6=0m2−5m−6=0

$(m+1)(m-6)=0$

$m=-1$ (nhận) hoặc $m=6$ (loại).

Vậy $m=-1$ thỏa mãn yêu cầu.

Ta có: 2x2+4x+m=02x2+4x+m=0 (*)

Δ′=22−2.m=4−2mΔ′=22−2.m=4−2m

Phương trình (*) có hai nghiệm x1;x2x1​;x2​ khi Δ′≥0Δ′≥0

$4-2m\ge 0$

$m\le 2$

Với $m\le 2$ thì phương trình (*) có hai nghiệm x1;x2x1​;x2​, theo hệ thức Viète:

x1+x2=−42=−2;x1​+x2​=2−4​=−2; x1.x2=m2x1​.x2​=2m​

Khi đó x12+x22=10x12​+x22​=10 trở thành

(x1+x2)2−2x1x2=10(x1​+x2​)2−2x1​x2​=10

(−2)2−2.m2=10(−2)2−2.2m​=10

$4-m=10$

$m=-6$ (thỏa mãn).