Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AB=AC=12$ cm.

​a) Xét tam giác $ABC$, áp dụng tính chất tia phân giác ta có:

$\genfrac{}{}{0ex}{}{AD}{DB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AC}{CB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{6}=2$

Suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{AD}{AB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}$ suy ra $AD=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}.12=8$ (cm)

Do đó, $DB=12-8=4$ (cm).

b) Do $CE$ vuông góc với phân giác $CD$ nên $CE$ là phân giác ngoài tại đỉnh $C$ của tam giác $ABC$.

Vậy $\genfrac{}{}{0ex}{}{EB}{EA}=\genfrac{}{}{0ex}{}{BC}{AC}$ hay $\genfrac{}{}{0ex}{}{EB}{EB+BA}=\genfrac{}{}{0ex}{}{BC}{AC}$

Gọi độ dài $EB$ là $x$ thì $\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{x+12}=\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{12}$.12

Vay X=12

Ta có

$\genfrac{}{}{0ex}{}{BM}{AM}=\genfrac{}{}{0ex}{}{BC}{AC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{b}$ (Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy)

$\genfrac{}{}{0ex}{}{CN}{AN}=\genfrac{}{}{0ex}{}{BC}{AB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{b}$ (Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy)

$\Rightarrow \genfrac{}{}{0ex}{}{BM}{AM}=\genfrac{}{}{0ex}{}{CN}{AN}\Rightarrow \genfrac{}{}{0ex}{}{BM}{CN}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AM}{AN}$ => MN//BC (Talet)

$\Rightarrow \genfrac{}{}{0ex}{}{AM}{AB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{MN}{BC}\Rightarrow \genfrac{}{}{0ex}{}{AM}{b}=\genfrac{}{}{0ex}{}{MN}{a}$  (1)

Ta có

$\genfrac{}{}{0ex}{}{AM}{BM}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AC}{BC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{a}$ (Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy)

$\Rightarrow \genfrac{}{}{0ex}{}{AM}{b}=\genfrac{}{}{0ex}{}{BM}{a}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AM+BM}{a+b}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AB}{a+b}=\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{a+b}$

$\Rightarrow AM=\genfrac{}{}{0ex}{}{b^2}{a+b}$ Thay vào (1)

$\Rightarrow \genfrac{}{}{0ex}{}{\genfrac{}{}{0ex}{}{b^2}{a+b}}{b}=\genfrac{}{}{0ex}{}{MN}{a}\Rightarrow \genfrac{}{}{0ex}{}{b}{a+b}=\genfrac{}{}{0ex}{}{MN}{a}\Rightarrow MN=\genfrac{}{}{0ex}{}{ab}{a+b}$

Ta có $ABCD$ là hình thoi nên $AC\perp BD$ tại trung điểm của mỗi đường nên $BD$ là trung trực của $AC$

Suy ra $GA=GC,HA=HC$ $\left(1\right)$

Và $AC$ là trung trực của $BD$ suy ra $AG=AH,CG=CH$ $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right),\left(2\right)$ suy ra $AG=GC=CH=HA$ nên $AGCH$ là hình thoi.

$ABCD$ là hình bình hành nên $AB=DC$ suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}AB=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}DC$

Do đó $AM=BM=DN=CN$.

Tứ giác $AMCN$ có $AM$ // $NC,AM=NC$ nên là hình bình hành.

Lại có $\Delta ADC$ vuông tại $A$ có $AN$ là đường trung tuyến nên $AN=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}DC=DN=CN$.

Hình bình hành $AMCN$ có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi, khi đó hai đường chéo $AC,MN$ vuông góc với nhau.

Tứ giác $AMCN$ là hình thoi

a) $ABCD$ là hình bình hành nên hai đường chéo $AC,BD$ cắt nhau tại $O$ là trung điểm của mỗi đường.

Xét $\Delta OBM$ và $\Delta ODP$ có:

     $OB=OD$ ( giả thiết)

     $\widehat{OBM}=\widehat{ODP}$ (so le trong)

     $\widehat{BOM}=\widehat{DOP}$ (đối đỉnh)

Vậy $\Delta OBM=\Delta ODP$ (g.c.g)

Suy ra $OM=OP$ (hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự $\Delta OAQ=\Delta OCN$ (g.c.g) suy ra $OQ=ON$ (hai cạnh tương ứng)

$MNPQ$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

b) Hình bình hành $MNPQ$ có hai đường chéo $MP\perp NQ$ nên là hình thoi.

Ta có $ABCD$ là hình thoi nên $AC\perp BD$ tại trung điểm của mỗi đường nên $BD$ là trung trực của $AC$

Suy ra $GA=GC,HA=HC$ $\left(1\right)$

Và $AC$ là trung trực của $BD$ suy ra $AG=AH,CG=CH$ $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right),\left(2\right)$ suy ra $AG=GC=CH=HA$ nên $AGCH$ là hình thoi.