Để tìm chữ số tận cùng, chúng ta chỉ quan tâm đến phần dư khi chia cho 10 của mỗi số hạng. Vì 3^31 và 7^100 đều lớn và tính toán chính xác số này có thể rất phức tạp, chúng ta có thể sử dụng tính chất của phép lũy thừa để đơn giản hóa bài toán.

Chúng ta biết rằng chữ số tận cùng của 3^31 sẽ là chữ số tận cùng của 3^1, 3^2, 3^3, ..., 3^30, 3^31. Tương tự, chữ số tận cùng của 7^100 sẽ là chữ số tận cùng của 7^1, 7^2, 7^3, ..., 7^99, 7^100.

Ta có thể lập bảng và tìm một mẫu lặp lại của chữ số tận cùng để giải quyết bài toán này:

3^1: 3 3^2: 9 3^3: 7 3^4: 1 3^5: 3 ...

7^1: 7 7^2: 9 7^3: 3 7^4: 1 7^5: 7 ...

Nhận thấy rằng chữ số tận cùng của các lũy thừa của 3 lặp lại theo chu kỳ 4 (3, 9, 7, 1) và chữ số tận cùng của các lũy thừa của 7 lặp lại theo chu kỳ 4 (7, 9, 3, 1).

Vì vậy, chúng ta chỉ cần tìm chữ số tận cùng của 3^31 và 7^100 trong chu kỳ này.

3^31 có chữ số tận cùng là chữ số tận cùng của 3^3 (7) vì 31 chia hết cho 4. 7^100 có chữ số tận cùng là chữ số tận cùng của 7^4 (1) vì 100 chia hết cho 4.

Tổng của chữ số tận cùng này là 7 + 1 = 8.

Vậy, chữ số tận cùng của 3^31 + 7^100 là 8.

Gọi số thứ nhất là x, số thứ hai là y và số thứ ba là z. Theo đề bài, ta có hệ phương trình như sau:

1. x + y + z = 100
2. x < y + z
3. y = 3z

Để giải hệ phương trình này, ta sẽ thay thế giá trị của y từ phương trình (3) vào phương trình (2) và (1) để loại bỏ biến y:

x < 4z x + 4z = 100

Từ phương trình (2), ta có: x = 4z - 1

Thay x vào phương trình (1), ta có: (4z - 1) + 4z + z = 100 9z = 101 z = 11.22

Do z là số nguyên, nên ta có thể lấy z = 11. Thay z = 11 vào phương trình (3), ta có: y = 3z = 3 * 11 = 33

Thay z = 11 và y = 33 vào phương trình (1), ta có: x + 33 + 11 = 100 x = 56

Vậy, ba số cần tìm là: x = 56, y = 33 và z = 11.

Để chứng minh ΔMAB = ΔMAC, ta có thể sử dụng nguyên lý cắt giao. Vì AB = AC và M là trung điểm BC, nên ta có AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC. Từ đó, ta có AM ⊥ BC. Vì AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC, nên ta cũng có MB = MC. Như vậy, ta đã chứng minh được ΔMAB = ΔMAC.

Để chứng minh AM là tia phân giác của góc BAC, ta có thể sử dụng tính chất của tam giác cân. Vì AB = AC và AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC, nên ta có AM là tia phân giác của góc BAC.

Để chứng minh AM ⊥ BC, ta đã chứng minh ở trên rồi. Vì AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC, nên ta có AM ⊥ BC.

Để chứng minh ΔAEB = ΔAEC, ta có thể sử dụng nguyên lý cắt giao. Vì AB = AC và AE là tia phân giác góc A, nên ta có AE là đường trung trực của đoạn thẳng BC. Từ đó, ta có AE ⊥ BC. Vì AE là đường trung trực của đoạn thẳng BC, nên ta cũng có BE = EC. Như vậy, ta đã chứng minh được ΔAEB = ΔAEC.

a) Để chứng minh a) ta cần chứng minh rằng góc ADC bằng góc BEC.

Vì AD là đường phân giác của góc BAC, nên ta có:

∠DAB = ∠DAC (1)

Tương tự, vì BE là đường phân giác của góc ABC, nên ta có:

∠CBA = ∠CBE (2)

Từ (1) và (2), ta có:

∠DAB + ∠CBA = ∠DAC + ∠CBE

∠DAB + ∠CBA = ∠BAC + ∠ABC

∠DAB + ∠CBA = ∠ABC + ∠BAC

Do đó, góc ADC bằng góc BEC.

Tiếp theo, để chứng minh rằng góc A bằng góc B, ta sử dụng định lý phụ của đường phân giác:

∠DAB = ∠DAC

∠EBA = ∠EBC

Vì ∠ADC = ∠BEC (đã chứng minh ở trên), nên ta có:

∠DAC + ∠ADC = ∠DAB + ∠ABC

∠DAB + ∠ABC = ∠DAC + ∠ADC

Từ đây, suy ra ∠A = ∠B.

Vậy, điều phải chứng minh a) đã được chứng minh.

b) Để chứng minh b), ta cần chứng minh rằng góc ADB bằng góc BEC.

Từ ∠ADB = ∠BEC (đã chứng minh ở a)), ta có:

∠ADB + ∠BEC = ∠BEC + ∠BEC

∠ADB + ∠BEC = 2∠BEC

∠ADB = ∠BEC

Do đó, góc ADB bằng góc BEC.

Tiếp theo, ta có:

∠A + ∠B + ∠C = 180° (định lý tổng các góc trong tam giác)

∠ADB + ∠B + ∠BEC = 180°

∠BEC + ∠B + ∠BEC = 180° (vì ∠ADB = ∠BEC)

2∠BEC + ∠B = 180°

2∠BEC = 180° - ∠B

∠BEC = (180° - ∠B) / 2

∠BEC = 90° - ∠B/2

∠BEC = 90° - ∠A/2 (vì ∠A = ∠B)

∠A/2 + ∠B/2 + ∠C = 90°

∠A/2 + ∠B/2 + ∠C = 90° - ∠A/2

∠A/2 + ∠A/2 + ∠C = 90° - ∠A/2

∠A + ∠C = 90° - ∠A/2

∠A + ∠C + ∠A/2 = 90°

2∠A + ∠C = 180°

∠A + ∠C = 180° - ∠A

∠A + ∠C = ∠B

∠A + ∠B + ∠C = 180°

∠A + ∠B + ∠C = 120° + 60°

∠A + ∠B + ∠C = 180°

Do đó, ∠A + ∠B = 120°.

Vậy, điều phải chứng minh b) đã được chứng minh.

Sao lưu cục bộ và sao lưu từ xa là hai phương pháp khác nhau để sao lưu dữ liệu. Sao lưu cục bộ là quá trình tạo bản sao dữ liệu từ một thiết bị lưu trữ sang một thiết bị khác trong cùng một mạng hoặc không gian lưu trữ. Trong khi đó, sao lưu từ xa là quá trình tạo bản sao dữ liệu từ một thiết bị lưu trữ sang một vị trí lưu trữ khác, thường là thông qua mạng internet hoặc mạng di động.

Sự khác biệt chính giữa sao lưu cục bộ và sao lưu từ xa là vị trí lưu trữ dữ liệu. Trong sao lưu cục bộ, dữ liệu được sao lưu trên các thiết bị lưu trữ trong cùng một mạng hoặc không gian lưu trữ. Trong khi đó, sao lưu từ xa cho phép dữ liệu được sao lưu trên các máy chủ hoặc dịch vụ lưu trữ từ xa, giúp bảo vệ dữ liệu khỏi mất mát do sự cố vật lý hoặc hỏng hóc thiết bị.

Cả hai phương pháp sao lưu đều có lợi ích riêng của chúng và tùy thuộc vào nhu cầu và yêu cầu cụ thể của người dùng để quyết định sử dụng phương pháp nào phù hợp.

• Số có 6 chữ số với chữ số cuối là 4. Đặt số này là ABCDEF, trong đó A, B, C, D, E, F là các chữ số.

• Nếu đảo số 4 lên đầu và giữ nguyên các số khác, ta được số mới là 4BCDEFA.

• Số mới gấp ba lần số cũ. Tức là 3(ABCDEF) = 4BCDEFA.

Chúng ta có thể tiến hành phân tích từng chữ số để tìm ra giá trị của chúng.

Đầu tiên, ta xét chữ số F. Vì số mới là 4BCDEFA, mà F là chữ số cuối cùng của số cũ, nên F phải là 4.

Tiếp theo, ta xét chữ số A. Vì số mới là 4BCDEFA, và A là chữ số đứng đầu của số cũ, nên A phải là 1 hoặc 2 (vì số có 6 chữ số).

Tiếp theo, ta xét chữ số B. Vì 3(ABCDEF) = 4BCDEFA, và F = 4, nên 3A + 1 = 4B. Khi A = 1, ta có 3 + 1 = 4B, từ đó suy ra B = 1. Khi A = 2, ta có 6 + 1 = 4B, từ đó suy ra B = 1. Vậy chữ số B luôn bằng 1.

Tiếp theo, ta xét chữ số C. Với A = 1 và B = 1, ta có 3 + C = 4C, từ đó suy ra C = 3.

Tiếp theo, ta xét chữ số D. Với A = 1, B = 1 và C = 3, ta có 3 + 1 + D = 4D, từ đó suy ra D = 2.

Tiếp theo, ta xét chữ số E. Với A = 1, B = 1, C = 3 và D = 2, ta có 3 + 1 + 3 + E = 4E, từ đó suy ra E = 2.

Tóm lại, số có các chữ số thỏa mãn yêu cầu là 113224.

X+y+y=27X+X+y+y=38

2X + 2y = 38

Tiếp theo, chúng ta có thể chia cả hai vế của phương trình cho 2:

X + y = 19

Vì vậy, giá trị của y là 19 - X.

Nhớ ơn BÁC

Trong cuộc sống, chúng ta thường gặp phải những người đã từng giúp đỡ, chia sẻ và đồng hành cùng chúng ta trên hành trình. Và trong danh sách những người đó, không thể không nhắc đến BÁC - những người đã có những đóng góp to lớn và tình yêu thương vô điều kiện cho chúng ta.

BÁC không chỉ là người thân, người bạn, mà còn là người đại diện cho tất cả những người đã dành thời gian, công sức và tâm huyết để chăm sóc, giúp đỡ và bảo vệ chúng ta. BÁC luôn hiện diện trong những khoảnh khắc khó khăn, những lúc chúng ta cần sự giúp đỡ và lời khuyên. BÁC là nguồn động viên, là nguồn cảm hứng và là người đã giúp chúng ta vượt qua những khó khăn, thử thách trong cuộc sống.

Nhớ ơn BÁC không chỉ là một lời cảm ơn đơn giản, mà là một trạng thái tâm trí, một trạng thái của sự biết ơn và tôn trọng. Chúng ta nhớ ơn BÁC không chỉ vì những việc lớn lao, mà còn vì những việc nhỏ nhặt, những lời khuyên chân thành và sự quan tâm từ trái tim của BÁC.

Nhớ ơn BÁC là một cách để chúng ta thể hiện lòng biết ơn và tôn trọng đối với những người đã có vai trò quan trọng trong cuộc sống của chúng ta. Đó là cách để chúng ta gửi đi những lời tri ân sâu sắc và trân trọng đến BÁC, để những người đã đóng góp vào cuộc sống của chúng ta biết rằng họ được quý trọng và đáng kính trong lòng chúng ta.

Vì vậy, hãy nhớ ơn BÁC, những người đã làm thay đổi cuộc sống của chúng ta, những người đã giúp đỡ và chăm sóc chúng ta. Hãy trân trọng và biết ơn những người đã đồng hành cùng chúng ta trên hành trình này. Và hãy luôn nhớ rằng, không có gì quý giá hơn sự biết ơn và tôn trọng đối với những người đã làm lớn lao cho cuộc sống của chúng ta - những người BÁC.