a) Ta có DM=DG \Rightarrow GM=2 GDDM=DG⇒GM=2GD.

Ta lại có GG là giao điểm của BDBD và CE \Rightarrow GCE⇒G là trọng tâm của tam giác ABCABC

\Rightarrow BG=2 GD⇒BG=2GD.

Suy ra BG=GMBG=GM.

Chứng minh tương tự ta được CG=GNCG=GN.

b) Xét tam giác GMNGMN và tam giác GBCGBC có GM=GBGM=GB (chứng minh trên);

\widehat{MGN}=\widehat{BGC}MGN=BGC (hai góc đối đỉnh);

GN=GCGN=GC (chứng minh trên).

Do đó \triangle GMN=\triangle GBC△GMN=△GBC (c.g.c)

\Rightarrow MN=BC⇒MN=BC (hai cạnh tương ứng).

Theo chứng minh trên \triangle GMN=\triangle GBC \Rightarrow \widehat{NMG}=\widehat{CBG}△GMN=△GBC⇒NMG=CBG (hai góc tương ứng).

Mà \widehat{NMG}NMG và \widehat{CBG}CBG ờ vị trí so le trong nên MNMN // BCBC.

a) Ta có DM=DG \Rightarrow GM=2 GDDM=DG⇒GM=2GD.

Ta lại có GG là giao điểm của BDBD và CE \Rightarrow GCE⇒G là trọng tâm của tam giác ABCABC

\Rightarrow BG=2 GD⇒BG=2GD.

Suy ra BG=GMBG=GM.

Chứng minh tương tự ta được CG=GNCG=GN.

b) Xét tam giác GMNGMN và tam giác GBCGBC có GM=GBGM=GB (chứng minh trên);

\widehat{MGN}=\widehat{BGC}MGN=BGC (hai góc đối đỉnh);

GN=GCGN=GC (chứng minh trên).

Do đó \triangle GMN=\triangle GBC△GMN=△GBC (c.g.c)

\Rightarrow MN=BC⇒MN=BC (hai cạnh tương ứng).

Theo chứng minh trên \triangle GMN=\triangle GBC \Rightarrow \widehat{NMG}=\widehat{CBG}△GMN=△GBC⇒NMG=CBG (hai góc tương ứng).

Mà \widehat{NMG}NMG và \widehat{CBG}CBG ờ vị trí so le trong nên MNMN // BCBC.

a) Xét \(\Delta A M C\)và \(\Delta E M B\)

+ AM = BM(gt)

+ MA = ME (gt)

+ Góc AMC = góc EMD (đối đỉnh)

Vậy hai tam giác trên bằng nhau theo trường hợp (c-g-c)

Ta có \(\hat{E B M} = \hat{A C M}\)(hai góc tương ứng)

Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong nên AC//BE

BE = AC (hai cạnh tương ứng)

b) Xét \(\Delta A D F\)và \(\Delta B D E\)

+ FD = DE(gt)

+ AD = BD (gt)

+ Góc ADF bằng góc BDE (đối đỉnh)

Vậy hai tam giác trên bằng nhau theo TH c.g.c

Ta suy ra được AF = BE

Và góc EBD = góc DAF (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong nên AF//BE

Lại có AF và AC cùng song song với BE nên A,F,C thẳng hàng(1)

BE = AC = AF (cmt) (2)

Từ (1) và (2) ta có A là trung điểm CF

a,Xét ΔABD có C là trung điểm của cạnh AD→ BC là trung tuyến của ΔABD.

Ta có: G ∈ BC và GB=2GC→ GB= 2/3.BC⇒G là trọng tâm của ΔABD.

Lại có: AE là đường trung tuyến của ΔABD(vì E là trung điểm của BD) nên 3 điểm A, G, E thẳng hàng.

Vậy 3 điểm A, G, E thẳng hàng.

b,

xét ΔECB và ΔDBC, ta có : 

EC = BD (gt)

\(\hat{B} = \hat{C}\) (2 góc đáy của ΔABC cân tại A)

BC là cạnh chung

=> ΔECB = ΔDBC (c.g.c)

=> \(\hat{G B C} = \hat{G C B}\) (2 góc tương ứng)

vì ΔGBC có \(\hat{G B C} = \hat{G C B}\) nên ⇒ ΔGBC là một tam giác cân (cân tại G)

Xét ΔABM và ΔACN có

AB=AC
góc BAM chung

AM=AN

=>ΔABM=ΔACN

=>BM=CN

Tục ngữ là kho tàng quý báu của dân tộc ta, là túi khôn chứa đựng bao bài học trí tuệ sâu sắc của người xưa. Từ đó ta tìm thấy những kinh nghiệm sống trong thực tế, những bài học đạo đức giúp ta hoàn thiện nhân cách. Ông ta đã nhắc nhở thế hệ sau phải biết ơn những người đã tạo ra thành quả cho mình qua cây tục ngữ:

“Uống nước nhớ nguồn.”

Trước tiên ta hiểu “nguồn” là nơi xuất phát của dòng nước, từ núi, từ rừng đổ ra suối rồi ra sông, ra biển. Đây là thứ nước trong khiết, mát lành nhất. Bởi vậy khi uống nước làm vơi đi cơn khát chúng ta phải biết suy ngẫm đến nơi xuất phát dòng nước ấy. Đằng sau đó, ông cha ta còn gửi gắm một bài học ý nghĩa sâu sắc: chúng ta phải biết ơn những người đã tạo dựng thành quả cho mình trong cuộc sống.

Trong cuộc sống này, không có thứ gì mà tự nhiên sinh ra cả. Những gì mà chúng ta được hưởng thụ ngày hôm nay phần lớn đều là do công sức lao động của những người đi trước. Để tạo ra thành quả đó,họ đã phải đổ mồ hôi công sức, thậm chí là hi sinh nhiều thứ đáng giá. Trong khi đó, những người thế hệ sau như chúng ta lại có thể hưởng thụ mà không cần bỏ ra chút công sức nào. Chính vì thế ta phải biết ơn họ như là một cách để đền đáp phần nào những gì họ bỏ ra.

Không chỉ vì vậy, lòng biết ơn còn mang nhiều ý nghĩa sâu sắc. Lòng biết ơn sẽ giúp chúng ta gắn bó với cha anh, tạo lên một khối đoàn kết. Khi chúng ta biết ơn người đã làm ra thành quả cho ta hưởng thụ thì ta sẽ càng biết trân trọng những cống hiến đó, sử dụng nó vào những công việc có ích. Khi ấy, những công sức mà người đi trước bỏ ra sẽ không bị uổng phí. Con người biết sống ân nghĩa sẽ được mọi người yêu quý, tôn trọng. Ví dụ như để có được cuộc sống hòa bình hiện nay đã phải đánh đổi bằng bao nhiêu hi sinh của các chiến sĩ. Họ đã dũng cảm chiến đấu, sẵn sàng hi sinh vì bảo vệ Tổ quốc, đem ánh sáng tự do đến cho dân tộc ta, giúp ta có cuộc sống độc lập, ấm no như bây giờ. Chính bởi vậy, ta cần luôn ghi nhớ công ơn của họ để lấy nó làm động lực ngày càng cố gắng vươn lên xây dựng đất nước tươi đẹp hơn để xứng đáng với công sức các anh bỏ ra. Khi đó ta cũng không thấy thẹn với lòng.

Ngược lại, nếu như sống mà không biết biết ơn những người đã tạo ra thành quả cho ta hưởng thụ thì con người sẽ dần trở nên ích kỷ, vô trách nhiệm, bị mọi người chê trách mỉa mai, xa lánh trở thành người thừa trong xã hội.

Lòng biết ơn là một phẩm chất đạo đức mà ai cũng cần có, là đạo lí của dân tộc, là lẽ sống tốt đẹp từ bao đời nay. Trong kho tàng văn học dân gian, không phải một lần ông cha ta nhắc nhở chúng ta phải biết sống ân nghĩa: “Ăn quả nhớ kẻ trồng cây”, “Ai mà phụ nghĩa quên công, thì đeo trăm cánh hoa hồng chẳng thơm” hay “Đường mòn ân nghĩa chẳng mòn”... Bởi vậy, chúng ta, những thế hệ sau cần phải kế thừa và tiếp nối truyền thống tốt đẹp ấy.

Câu tục ngữ “Uống nước nhớ nguồn” đã đưa ra lời khuyên sâu sắc đối với mỗi chúng ta về lòng biết ơn trong cuộc sống. Thế nhưng hiện nay vẫn còn những kẻ vô ơn, sống vô trách nhiệm, coi những điều mà mình đang có là hiển nhiên. Những con người ấy cần phải lên án nghiêm khắc. Mỗi chúng ta cần nhận thức được rằng lòng biết ơn là một phẩm chất tốt đẹp mà mọi người phải có. Chúng ta cần hiểu rõ những thành quả người khác làm ra, ghi nhớ công của họ, trân trọng thành quả đó và ra sức cố gắng phát triển nó để không uổng phí công sức của người khác.

Trải qua bao nhiêu năm tháng, câu tục ngữ vẫn giữ nguyên giá trị. Mỗi chúng ta cần tiếp nhận bài học mà ông cha ta đã nhắn nhủ, sống và làm việc xứng đáng với đạo lí và truyền thống dân tộc.

Muốn thành công trong cuộc sống, con người cần phải rèn luyện cho mình nhiều đức tính tốt đẹp. Một trong những đức tính cần có đó là lòng khiêm tốn. Càng khiêm tốn khiến ta càng trở nên vĩ đại. Người càng vĩ đại thì càng cần phải khiêm tốn.

Khiêm tốn là tính nhã nhặn, biết sống nhún nhường; không bao giờ tự đề cao cá nhân mình trước người khác mà ngược lại luôn tự cho mình là kém, cần phải học hỏi thêm, trau dồi thêm. Người có lòng khiêm tốn không bao giờ tự hào về sự thành công của mình mà luôn cho nó là tầm thường, nhỏ bé, không đáng kể và luôn tìm cách học hỏi thêm nữa.

Biển học là mênh mông vô tận trong khi đó sự hiểu biết của con người chỉ là một giọt nước bé nhỏ giữa đại dương. Có biết bao điều hay, mới lạ về cuộc sống, thế giới bên ngoài mà bản thân ta không hề hay biết. Do đó con người phải biết khiêm tốn, không ngừng học hỏi để có thể tiếp thu được lượng kiến thức bao la, rộng lớn mà nhân loại đã tích lũy từ mấy ngàn năm qua.

Khiêm tốn, không ngừng học hỏi, tích lũy tri thức, kinh nghiệm vốn sống thì sự hiểu biết ngày càng mở rộng, làm việc gì cũng dễ thành công ít thất bại, khẳng định được tài năng và giá trị của chính mình. Ngược lại, một kẻ tự phụ về tài năng học thức của mình, không chịu học hỏi bất kì ai, không tiếp thu những cái mới thì một ngày nào đó, kiến thức của họ sẽ trở nên nông cạn, lạc hậu, không theo kịp được sự phát triển của xã hội.

Mặc khác, người không biết khiêm tốn, lúc nào cũng kiêu ngạo tự phụ dễ sinh ra thói chủ quan và do đó thường thất bại trong cuộc sống. Ví như ngọc kia dẫu quý mà chẳng dũa chẳng mài cũng không thể tự tỏa sáng được.

Sống có lòng khiêm tốn, biết tôn trọng người khác, cư xử cởi mở, hòa đồng thân thiện là một lối sống đẹp, tự nâng cao giá trị của chính mình, luôn thành công trong lĩnh vực giao tiếp, được mọi người yêu quý coi trọng, khi gặp khó khăn sẽ được mọi người cưu mang giúp đỡ.

Trong đời sống, cần cư xử, nói năng hòa nhã, khiêm tốn, chịu khó học hỏi mọi người, tránh khoe khoang, huênh hoang khoác lác, tự cao tự đại về tài năng của chính mình vì làm như thế chỉ khiến cho mọi người coi thường, xa lánh.

Người có lòng khiêm tốn phải biết trân trọng con người và hành động đúng đắn đem lại lợi ích thiết thực trong cuộc sống. Biết ơn những ai đã mang lại cho ta lợi ích nào đó. Không bao giờ so sánh thiệt hơn. Biết lắng nghe và thấu hiểu người khác. Sống đúng với chuẩn mực, đạo lí ở đời.

Kính nhường học hỏi, không tự cao tự đại, không xem thường tri thức và người khác. Sống đề cao sự sáng tạo và tiến bộ, không khoe khoang, hợm hĩnh, không đua đòi, sĩ diện. Lúc nào cũng điềm đạm, bình tâm với lối sống giản dị, thanh bạch, hòa hợp với cuộc sống xung quanh và làm cho lối sống ấy được mở rộng trong cộng đồng.

Đức tính khiêm tốn tạo nên vẻ đẹp nhân cách con người. Nhưng không nên khiêm tốn một cách thái quá đến độ khép kín và nhu nhược. Việc gì biết thì trình bày, làm được thì làm ngay chứ không nên im lặng vì không thích tranh đua, không làm vì đợi chờ người khác. Chính đức tính khiêm tốn là yếu tố đưa ta đến gần với mọi người hơn.

Sự phát triển của khoa học - công nghệ đã làm thay đổi cuộc sống của nhân loại. Có người chạy theo những giá trị vật chất mà không chú ý tu dưỡng, rèn luyện bản thân. Tuy nhiên, nhiều người vẫn giữ được lối sống giản dị, thanh bạch.

Hiểu đơn giản, lối sống giản dị là bỏ qua mọi sự cầu kì và không phô trương. Những người sống giản dị thường sống phù hợp với hoàn cảnh hiện tại của bản thân, không chạy theo xu hướng hay sống xa vời thực tại. Họ không quá coi trọng giá trị vật chất, vẻ đẹp hào nhoáng bên ngoài. Họ chú trọng đến phát triển bản thân, tu dưỡng tâm hồn và nhân cách tốt đẹp. Sống giản dị biểu hiện ở nhiều phương diện. Chúng ta sống giản dị từ trong cuộc sống hằng ngày như cách ăn, mặc hay ở. Cũng có thể sống giản dị được biểu hiện qua cách làm việc, nói chuyện.

Việc sống giản dị đem lại nhiều giá trị cho con người. Đầu tiên, chúng ta sẽ trở nên tiết kiệm hơn, khi không đầu tư tiền bạc, tâm sức vào những điều phù phiếm, xa xỉ. Sống giản dị giúp con người hòa nhập với thế giới xung quanh, mối quan hệ giữa con người cũng trở nên hài hòa, thân thiện hơn. Đồng thời, lối sống này cũng góp phần làm sáng lên nhân cách của chúng ta. Người sống giản dị luôn được kính trọng và yêu mến. Giản dị tạo nên sự thanh thản, bình yên trong tâm hồn và sự nhàn nhã, thư thái trong nhịp sống vội vã của cuộc sống hiện tại.

Tấm gương sáng về lối sống giản dị trong xã hội xưa như Nguyễn Bỉnh Khiêm, Nguyễn Trãi. Họ đều là những người yêu nước thương nguyện, nguyện tránh xa chốn quan trường. Chủ tịch Hồ Chí Minh chính là một tấm gương tiêu biểu của lối sống giản dị. Dù là một vị lãnh tụ nhưng từ cách ăn mặc, làm việc hay lời nói của Bác đều giản dị.

Có thể khẳng định rằng, lối sống giản dị vô cùng giá trị. Bởi vậy, mỗi người hãy học cách sống giản dị để bản thân trở nên tốt đẹp hơn.

a) P(x) = 2x³ - 3x + 5x² + 2 + x

= 2x³ + 5x² + (-3x + x) + 2

= 2x³ + 5x² - 2x + 2

Q(x) = -x³ - 3x² + 2x + 6 - 2x²

= -x³ + (-3x² - 2x²) + 2x + 6

= -x³ - 5x² + 2x + 6

b) P(x) + Q(x) = (2x³ + 5x² - 2x + 2) + (-x³ - 5x² + 2x + 6)

= 2x³ + 5x² - 2x + 2 - x³ - 5x² + 2x + 6

= (2x³ - x³) + (5x² - 5x²) + (-2x + 2x) + (2 + 6)

= x³ + 8

P(x) - Q(x) = (2x³ + 5x² - 2x + 2) - (-x³ - 5x² + 2x + 6)

= 2x³ + 5x² - 2x + 2 + x³ + 5x² - 2x - 6

= (2x³ + x³) + (5x² + 5x²) + (-2x - 2x) + (2 - 6)

= 3x³ + 10x² - 4x - 4