Trong ΔABC có: AE = EB; AD = DC => ED là đường trung bình của ΔABC

=> ED // BC và ED = BC/2 ⇒2ED = BC

=> Tứ giác EDCB là hình thang (do ED//BC)

 Trong hình thang EDCB, có: EI = IB; DK = KC ⇒IK là đường trung bình của hình thang EDCB

⇒IK = ED + BC/2 = ED + 2ED/2 =3/2ED

 Trong tam giác BED có: BI = IE; IM // ED ⇒BM = MD

Và trong tam giác BED, có: BI = IE; BM = MD ⇒BM=MD⇒IM là đường trung bình của tam giác BED ⇒IM = 1/2ED

Tương tự thì NK=1/2ED ⇒ MN = IK−IM−NK = 3/2ED−1/2ED−1/2ED=1/2ED

Vậy IM = MN = NK

a) Tam giác ABC có NA = NB; MA = MC

=> NM là đường trung bình

=> MN // BC;  MN = 1/2 BC   (1)

  Tam giác GBC có: DG = DB;  EG = EC

=> ED  là đường trung bình

=>  ED // BC; ED = 1/2 BC

Từ (1) và (2) suy ra: MN // DE;  MN = ED

=> NMED là hình bình hành

=>  ME // ND

Xét ΔABC có 

N là trung điểm của AB

M là trung điểm của AC

Do đó; NM là đường trung bình

=>NM//BC và NM=BC/2(1)

Xét ΔGBC có 

D là trung điểm của GB

E là trung điểm của GC

Do đó: DE là đường trung bình

=>DE//BC và DE=BC/2(2)

Từ (1) và (2) suy ra NM//DE và NM=DE

=>NMED là hình bình hành

Suy ra: ND//ME

a, Lấy H là trung điểm MC

Xét ΔMBC có D,H là tđ BC, MC

=> DH là đường trung bình

=> DH// BM hay DH// OM

Có H là trung điểm MC => MH= HC= 1/2. MC

Mà AM= 1/2. MC

=> AM= MH => M là trung điểm AH

Xét ΔADH có OM// DH. M là tđ AH

=> O là tđ AD (đpcm)

b, Có DH là đường trung bình ΔMBC => DH= 1/2. BM

Xét ΔADH có O, M là tđ AD, AH

=> OM là đường trung bình ΔADH

=> OM= 1/2. DH= 1/4. BM

a) Qua M kẻ MN // BD.

Trong ΔAMN và ΔAMN, có I là trung điểm của AM, ID//MN⇒AD=DN

Trong ΔBCD và ΔBCD, có M là trung điểm của BC,  MN//BD⇒ND=NC

⇒AD=DN=NC⇒AD=12DC⇒AD=DN=NC⇒AD=12DC

b) Xét ΔAMK có 

I là trung điểm của AM

D là trung điểm của AK

Do đó: ID là đường trung bình

=>ID=MK/2

hay MK=2ID

Ta có: MK là đường trung bình của ΔBDC

nên MK=BD/2

=>BD/2=2ID

hay BD=4ID