Vì ABCD là hình bình hành , ta có:

Hai đường chéo AC BD cắt nhau tại O,nên OA=OC,OB=OD

AB//CD,AM//CN suy ra OAM=OCN

Xét tam giác OAM và OCN có OA=OC

AOM=CON [hai góc đối đỉnh]

Do đó OAM=OCN

AM=CN

AB=CD

AB=AM+BM

CD=CN+DN

DM=DN

Xét tứ giác MBND có 

BM//DN vì AB//CD

BM=DN

Dó đó tứ giác MBND là hình bình hành

Vì ABCD là hình bình hành nên AB=CD, AB // CD

Mà E,F lần lượt là trung điểm của AB , CD nên AE = BE =1/2AB,CF = DF=1/2 CD

Do đó AE = BE=CF=DF

Xét tứ giác AEFD là hình bình hành

Xét tứ giác AECF có

AE//CF Vì  AB//CD

AE=CF

Do đó tứ giác AECF là hình bình hành 

Vậy tứ giác AECF là hình bình hành nên AF=EC

Vậy EF = AD,AF=EC

Trong AOB dựng tia Ot//Ox

Suy ra O2 + A2 = 180 độ [ góc cùng phía ]

Khi đó O1 = AOB O2 =AOB - [180 - A2]= AOB + A2 - 180 = B1

Suy ra Ot // By so le trg = nhau 

Suy ra Ax // By 

Vậy At//Bz

a, EF//BC nên AEF//ABC [ đồng vị ]          1

MN//BC nên ABC//AMN [ đồng vị ]         2

Suy ra AEF = AMN do 2 góc nằm ở vị trí 2 góc đồng vị nên EF//MN

b, CAx=ACB

Vậy Ax//BC [ đồng vị bằng nhau ] 

Mà MN//BC nên Ax//MN [ song song BC ]

Ta biết 

O1 - O2 = 70 độ 

Suy ra O1= O2 + 70 độ

 Mà do O1 và O2 là 2 góc kề bù 

Nên O1 + O2 = 180 độ

 Sau khi thay O1 = O2 + 70 độ ta có được

O2 + O2 + 70 độ = 180 độ

 Hay 2 . O2 = 110 độ

Vậy O2 = 55 độ

 Mà do 2 góc O2 và O4 là 2 góc đối đỉnh nên O4 = 55 độ

Biết O1 + O2 + O3 = 325 độ

O1 và O2 là 2 góc kề bù nên O1 + O2 = 180 độ

Suy ra O3 = 325 - 180 = 145 [ độ ]

Mà O3 và O4 là 2 góc kề bù nên O4 = 180 - 145 = 35 [ độ ]

Xét xOy có góc kề bù xOz

Gọi tia Ot và Ok lần lượt là tia phân giác của xOy và xOz

Ta có 

180 độ = xOy + xOz = 2.xOt + 2 xOk

Suy ra 

xOt + xOk = 90 độ

Vậy Ot khác Ok

Từ hình vẽ , ta có 

O1 = O3 [ 2 góc đối đỉnh ]

O2 = O4 [ 2 góc đối đỉnh ]

Do Ot là tia phân giác của xOy 

nên O1 = O2 

Suy ra O3 = O4 

Do tia Ot' nằm giữa Ox' và Oy' nên tia Ot' là tia phân giác của x'Oy'

a, Do các tia OC và OD đều nằm trong cùng 1 góc là AOB nên 

AOD = AOC - COD = 90 độ - COD     1

BOC = BOD - COD = 90 độ - COD      2

Qua 1 và 2 suy ra 

AOD = BOC

b, Ta có 

AOB + COD = [ AOC + BOC ] + COD = AOC + BOC + COD= AOC + BOD

Thay số , ta có 

90 + 90 = 180 [ độ ]

c, Qua giả thuyết , ta có 

AOD = 2.xOD

Do xOy = xOD + DOC + COy = 2 . xOD + DOC = AOD = AOC = 90 độ

Vậy  Ox khác Oy

Ta có  zOy = xOy + yOz = 4 . yOz = 5 . yOz 

Do yOt = 90 độ nên 90 độ = yOz + yOt  = yOz + 1/2xOz = 3.yOz 

Suy ra yOz = 30 độ 

Sau khi thay 2 vào , ta có xOz = 5.30 độ = 150 độ

Vậy xOy = 150 độ