a) 

△

A

B

C

△ABC cân tại 

A

A nên 

A

B

C

^

=

A

C

B

^

ABC

 = 

ACB

 .

 

Vì 

B

Q

BQ và 

C

P

CP là đường phân giác của 

B

^

,

C

^

B

 , 

C

  nên 

B

1

^

=

B

2

^

=

A

B

C

^

2

B 

1

​

 

​

 = 

B 

2

​

 

​

 = 

2

ABC

 

​

 , 

C

1

^

=

C

2

^

=

A

C

B

^

2

C 

1

​

 

​

 = 

C 

2

​

 

​

 = 

2

ACB

 

​

 .

 

Do đó 

B

1

^

=

B

2

^

=

C

1

^

=

C

2

^

B 

1

​

 

​

 = 

B 

2

​

 

​

 = 

C 

1

​

 

​

 = 

C 

2

​

 

​

 .

 

Suy ra 

△

O

B

C

△OBC cân tại 

O

O.

 

b) Vì 

O

O là giao điểm các đường phân giác 

C

P

CP và 

B

Q

BQ trong 

△

A

B

C

△ABC nên 

O

O là giao điểm ba đường phân giác trong 

△

A

B

C

△ABC.

 

Do đó, 

O

O cách đều ba cạnh 

A

B

,

A

C

AB,AC và 

B

C

BC.

 

c) Ta có 

△

A

B

C

△ABC cân tại 

A

,

A

O

A,AO là đường phân giác của góc 

A

A nên 

A

O

AO đồng thời là trung tuyến và đường cao của 

△

A

B

C

△ABC.

 

Vậy đường thẳng 

A

O

AO đi qua trung điểm của đoạn thẳng 

B

C

BC và vuông góc với nó.

 

d) Ta có 

△

P

B

C

=

△

Q

C

B

△PBC=△QCB (g.c.g)

 

⇒

C

P

=

B

Q

⇒CP=BQ (hai cạnh tương ứng).

 

e) Ta có 

A

P

=

A

B

−

B

P

AP=AB−BP, 

A

Q

=

A

C

−

C

Q

AQ=AC−CQ (1);

 

△

P

B

C

=

△

Q

C

B

⇒

B

P

=

C

Q

△PBC=△QCB⇒BP=CQ (2).

 

Lại có 

A

B

=

A

C

AB=AC (tam giác 

A

B

C

ABC cân tại 

A

A) (3).

 

Từ (1), (2) và (3) suy ra 

A

P

=

A

Q

AP=AQ.

 

Vậy tam giác 

A

P

Q

APQ cân tại 

A

A.

a) Xét △OAD và △OCB, có

OA=OC (giả thiết);

O chung;

OD=OB (giả thiết).

Do đó △OAD=△OCB (c.g.c)

⇒AD=CB (hai cạnh tương ứng).

b) Do OA=OC và OB=OD nên AB=CD.

Mà △OAD=△OCB (chứng minh trên)

⇒OBC= ODA; OAD= OCB  (hai góc tương ứng)

Mặt khác ABE + OBC= CDE + ODA =180 ⇒ ABE = CDE

 Xét △ABE và △CDE cóOAD= OCB  (chứng minh trên);

AB=CD (chứng minh trên);

ABE= CDE (chứng minh trên) 

Do đó △ABE=△CDE (g.c.g).

c) Vi △ABE=△CDE (chứng minh trên) nên AE=CE (hai cạnh tương ứng).

Xét △AEO và △CEO có 

AE=CE (chứng minh trên);

OE cạnh chung;

OA=OC (giả thiết).

Do đó △AEO=△CEO (c.c.c)

⇒ AOE= COE  (hai góc tương ứng)

⇒OE là tia phân giác của xOy

​

 .

 

 

a) Xét △IOE và △IOF có

E=F=90∘(giả thiết);

OI cạnh chung;

EOI= FOI  (Om là tia phân giác).

Vậy △IOE=△IOF (cạnh huyền - góc nhọn).

b) △IOE=△IOF (chứng minh trên)

⇒OE=OF (hai cạnh tương ứng).

Gọi H là giao điểm của Om và EF.

Xét △OHE và △OHF, có

OE=OF (chứng minh trên);

EOH = FOH  (Om là tia phân giác);

OH chung.

Do đó △OHE=△OHF (c.g.c)

⇒ OHE= FHO  (hai góc tương ứng)

Mà OHE + FHO =180 ∘  nên OHE=FHO=90 °

 Vậy EF⊥Om.

 

 

Vì BAC và  CAx là hai góc kề bù mà 

BAC=120 ∘  nên CAx=60∘(1) 

Ta có AD là phân giác của BAC ⇒ DAC = 1/2 BAC=60 ∘ (2)

Từ (1) và (2) suy ra AC là tia phân giác của DAx

Suy ra IH=IE (tính chất tia phân giác của một góc) (3)

Vì DI là phân giác của ADC nên IK=IE (tính chất tia phân giác của một góc) (4)

Từ (3) và (4) suy ra IH=IK

Ta có D thuộc phân giác của  góc A

DH⊥AB; DK⊥AC ⇒DH=DK

Gọi G là trung điểm của BC

Xét △BGD và CGD, có

BGD=CGD=90∘ (DG là trung trực của BC ),

BG=CG (già thiết),

DG là cạnh chung.

Do đó △BGD=△CGD (hai cạnh góc vuông)

⇒BD=CD (hai cạnh tương ứng).

Xét △BHD và △CKD, có

BHD=CKD(giả thiết);

DH=DK (chứng minh trên);

BD=CD (chứng minh trên).

Do đó △BHD=△CKD (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

⇒BH=CK (hai cạnh tương ứng).

Gọi 

D

D là giao điểm của 

A

G

AG và 

B

C

⇒

D

B

=

D

C

BC⇒DB=DC.

 

Ta có 

B

G

=

2

3

B

E

BG= 

3

2

​

 BE; 

C

G

=

2

3

C

F

CG= 

3

2

​

 CF (tính chất trọng tâm).

 

Vì 

B

E

=

C

F

BE=CF nên 

B

G

=

C

G

⇒

△

B

C

G

BG=CG⇒△BCG cân tại 

G

G

 

⇒

G

C

B

^

=

G

B

C

^

⇒ 

GCB

 = 

GBC

 

 

Xét 

△

B

F

C

△BFC và 

△

C

E

B

△CEB có 

C

F

=

B

E

CF=BE (giả thiết);

 

G

C

B

^

=

G

B

C

^

GCB

 = 

GBC

  (chứng minh trên);

 

B

C

BC là cạnh chung.

 

Do đó 

△

B

F

C

=

△

C

E

B

△BFC=△CEB (c.g.c)

 

⇒

F

B

C

^

=

E

C

B

^

⇒ 

FBC

 = 

ECB

  (hai góc tưong ứng)

 

⇒

△

A

B

C

⇒△ABC cân tại 

A

⇒

A

B

=

A

C

A⇒AB=AC.

 

Từ đó suy ra 

△

A

B

D

=

△

A

C

D

△ABD=△ACD (c.c.c)

 

⇒

A

D

B

^

=

A

D

C

^

⇒ 

ADB

 = 

ADC

 . (hai góc tương ứng)

 

Mà 

A

D

B

^

+

A

D

C

^

=

18

0

∘

⇒

A

D

B

^

=

A

D

C

^

=

9

0

∘

⇒

A

D

⊥

B

C

ADB

 + 

ADC

 =180 

∘

 ⇒ 

ADB

 = 

ADC

 =90 

∘

 ⇒AD⊥BC hay 

A

G

⊥

B

C

AG⊥BC.

 

) Ta có 

D

M

=

D

G

⇒

G

M

=

2

G

D

DM=DG⇒GM=2GD.

 

Ta lại có 

G

G là giao điểm của 

B

D

BD và 

C

E

⇒

G

CE⇒G là trọng tâm của tam giác 

A

B

C

ABC

 

⇒

B

G

=

2

G

D

⇒BG=2GD.

 

Suy ra 

B

G

=

G

M

BG=GM.

 

Chứng minh tương tự ta được 

C

G

=

G

N

CG=GN.

 

b) Xét tam giác 

G

M

N

GMN và tam giác 

G

B

C

GBC có 

G

M

=

G

B

GM=GB (chứng minh trên);

 

M

G

N

^

=

B

G

C

^

MGN

 = 

BGC

  (hai góc đối đỉnh);

 

G

N

=

G

C

GN=GC (chứng minh trên).

 

Do đó 

△

G

M

N

=

△

G

B

C

△GMN=△GBC (c.g.c)

 

⇒

M

N

=

B

C

⇒MN=BC (hai cạnh tương ứng).

 

Theo chứng minh trên 

△

G

M

N

=

△

G

B

C

⇒

N

M

G

^

=

C

B

G

^

△GMN=△GBC⇒ 

NMG

 = 

CBG

  (hai góc tương ứng).

 

Mà 

N

M

G

^

NMG

  và 

C

B

G

^

CBG

  ờ vị trí so le trong nên 

M

N

MN // 

B

C

BC.

Ta có bf = be suy ra be = EF

Mà be = ed nên EF = ed suy ra d là trung điểm của EF suy ra cd là đường trung tuyến của tam giác efc 

Vì k là trung điểm của cf nên ek là đường trung tuyến của tam giác efc 

Tam giác efc có hai đường trung tuyến cd và ek cắt nhau tại g nên g là trọng tâm 

b, ta có g là trọng tâm tam giác efc nên gc/dc = 2/3 và ge = 2/3 ek

Suy ra gk =1/3 ek suy ra ge = gk suy ra ge/gk =2 

a, Xét tam giác abd có c là trung điểm của cạnh ad suy ra bc là trung tuyến của tam giác abd 

Hơn nữa g € bc và gb = gc suy ra 

Gb=2/3 suy ra g là trọng tâm tam giác abd

Lại có ae là đường trung tuyến của tam giác abd nên a, g, e thẳng hàng

b, ta có g là trọng tâm tam giác abd suy ra dg là đường trung tuyến 

Suy ra dg đi qua trung điểm của cạnh ab 

a, Ta có tam giác ABC cân tại a suy ra ab =ac mà ab =be; ac =cd

Xét tam giác bce và tam giác cbd có be =cd (cmt) 

Góc ebc = góc dcb

Bc là chung 

Suy ra tam giác bce = tam giác cbd (c.g.c) 

Suy ra ce = bd (2 ctứ)

b, có g là trọng tâm tam giác ABC nên bg =2/3 BD và cg=2/3 ce mà ce = BD nên 2/3 ce = 2/3 BD hay cg = bg

Vậy tam giác gbc cân tại g

c, ta có gb =2/3 BD suy ra GD = 1/2 gb

Chứng minh, ta có: ge = 1/2 gc

Do đó GD + ge = 1/2 gb + 1/2 gc = 1/2( gb + gc) mà gb + gc > bc 

Do đó GD + ge >1/2bc