:)))))))))))))

trên Chat

GPT

• \(A B C D\) là hình bình hành,
• \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(A C\) và \(B D\)
• Lấy điểm \(K\) trên cạnh \(A B\), điểm \(I\) trên cạnh \(C D\) sao cho \(A K = C I\)
• Chứng minh: \(K , O , I\) thẳng hàng.

✍️ Chứng minh:

Vì \(A B C D\) là hình bình hành nên:

• \(A B \parallel C D\), và \(A B = C D\)
• Hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường ⇒ \(O\) là trung điểm của \(A C\) và \(B D\)

💡 Cách làm: Dùng vector

Giả sử gốc tọa độ tại điểm \(A\), đặt:

• \(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{a}\),
• \(\overset{⃗}{A D} = \overset{⃗}{b}\)

⇒ Khi đó:

• \(\overset{⃗}{A C} = \overset{⃗}{A B} + \overset{⃗}{A D} = \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b}\)
• Giao điểm \(O\) của hai đường chéo là trung điểm của \(A C\), nên:
  \(\overset{⃗}{A O} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} \left.\right)\)

Gọi \(K\) là điểm trên đoạn \(A B\), sao cho \(A K = x \cdot \overset{⃗}{a}\) với \(0 < x < 1\)
⇒ \(\overset{⃗}{A K} = x \overset{⃗}{a}\)

Vì \(A K = C I\) ⇒ độ dài \(A K = C I\), mà \(C I \subset C D\)

Ta biểu diễn \(C I\) theo \(\overset{⃗}{C D}\), mà \(\overset{⃗}{C D} = \overset{⃗}{A D} - \overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{b} - \overset{⃗}{a}\)

⇒ \(\overset{⃗}{C I} = x \left(\right. \overset{⃗}{b} - \overset{⃗}{a} \left.\right)\)

⇒ \(\overset{⃗}{A I} = \overset{⃗}{A C} + \overset{⃗}{C I} = \left(\right. \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} \left.\right) + x \left(\right. \overset{⃗}{b} - \overset{⃗}{a} \left.\right)\)

Ta có:

• \(\overset{⃗}{A O} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} \left.\right)\)
• \(\overset{⃗}{A K} = x \overset{⃗}{a}\), \(\overset{⃗}{A I} = \left(\right. 1 - x \left.\right) \overset{⃗}{a} + \left(\right. 1 + x \left.\right) \overset{⃗}{b}\)

✅ Xét ba điểm \(K , O , I\) có thẳng hàng không?

Ba điểm thẳng hàng nếu các vectơ \(\overset{⃗}{K O}\) và \(\overset{⃗}{O I}\) cùng phương.

Ta tính:

• \(\overset{⃗}{K O} = \overset{⃗}{A O} - \overset{⃗}{A K} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} \left.\right) - x \overset{⃗}{a} = \left(\right. \frac{1}{2} - x \left.\right) \overset{⃗}{a} + \frac{1}{2} \overset{⃗}{b}\)
• \(\overset{⃗}{O I} = \overset{⃗}{A I} - \overset{⃗}{A O} = \left[\right. \left(\right. 1 - x \left.\right) \overset{⃗}{a} + \left(\right. 1 + x \left.\right) \overset{⃗}{b} \left]\right. - \frac{1}{2} \left(\right. \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} \left.\right)\)

So sánh:

• \(\overset{⃗}{K O} = \left(\right. \frac{1}{2} - x \left.\right) \overset{⃗}{a} + \frac{1}{2} \overset{⃗}{b}\)
• \(\overset{⃗}{O I} = \left(\right. \frac{1}{2} - x \left.\right) \overset{⃗}{a} + \left(\right. \frac{1}{2} + x \left.\right) \overset{⃗}{b}\)

⇒ Hai vector này cùng phương nếu tồn tại một tỉ lệ tỉ lệ \(t\) sao cho \(\overset{⃗}{O I} = t \cdot \overset{⃗}{K O}\)

Thử:

OK! Vậy \(\overset{⃗}{K O}\) và \(\overset{⃗}{O I}\) cùng phương ⇒ ba điểm \(K , O , I\) thẳng hàng.

✅ Kết luận:

Ba điểm \(K , O , I\) thẳng hàng.

Nếu Ní cần tớ vẽ hình thì nói nhé, tớ có thể dựng hình minh họa theo yêu cầu 😊
Còn gấp thì chốt bài này cho lẹ!