Ta có đề bài:

Cho đa thức:

\(F \left(\right. x \left.\right) = a x^{2} + b x + c \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; a , b , c \in \mathbb{Q} \&\text{nbsp};(\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{h}ữ\text{u}\&\text{nbsp};\text{t}ỉ) .\)

Biết rằng:

• \(\frac{F \left(\right. 0 \left.\right)}{F \left(\right. 1 \left.\right)} \in \mathbb{Z}\)
• \(F \left(\right. 2 \left.\right) \in \mathbb{Z}\)

Yêu cầu: Chứng minh rằng \(2 a \in \mathbb{Z}\)

Bước 1: Ghi lại các biểu thức

Ta tính:

• \(F \left(\right. 0 \left.\right) = c\)
• \(F \left(\right. 1 \left.\right) = a + b + c\)
• \(F \left(\right. 2 \left.\right) = 4 a + 2 b + c\)

Theo giả thiết:

• \(\frac{F \left(\right. 0 \left.\right)}{F \left(\right. 1 \left.\right)} = \frac{c}{a + b + c} \in \mathbb{Z}\)
• \(F \left(\right. 2 \left.\right) = 4 a + 2 b + c \in \mathbb{Z}\)

Vì \(a , b , c \in \mathbb{Q}\), nên để chứng minh \(2 a \in \mathbb{Z}\), ta sẽ khai thác điều kiện trên.

Bước 2: Đặt các ẩn dưới dạng phân số

Vì \(a , b , c \in \mathbb{Q}\), ta có thể giả sử:

\(a = \frac{p}{q} , b = \frac{r}{q} , c = \frac{s}{q}\)

trong đó \(p , r , s \in \mathbb{Z}\), \(q > 0 \in \mathbb{Z}\)

Khi đó:

• \(F \left(\right. 0 \left.\right) = \frac{s}{q}\)
• \(F \left(\right. 1 \left.\right) = \frac{p + r + s}{q}\)
  → \(\frac{F \left(\right. 0 \left.\right)}{F \left(\right. 1 \left.\right)} = \frac{s}{p + r + s} \in \mathbb{Z}\)

⇒ \(\frac{s}{p + r + s} \in \mathbb{Z} \Rightarrow p + r + s \mid s\)

Tức là: \(p + r + s \mid s \Rightarrow \exists k \in \mathbb{Z} : s = k \left(\right. p + r + s \left.\right)\)

Giải ra:

\(s = k p + k r + k s \Rightarrow s - k s = k p + k r \Rightarrow s \left(\right. 1 - k \left.\right) = k \left(\right. p + r \left.\right) \Rightarrow s = \frac{k \left(\right. p + r \left.\right)}{1 - k}\)

⇒ \(s \in \mathbb{Q}\), nên biểu thức này hợp lý.

Bước 3: Tìm biểu thức của \(F \left(\right. 2 \left.\right)\)

\(F \left(\right. 2 \left.\right) = 4 a + 2 b + c = \frac{4 p + 2 r + s}{q}\)

Ta có \(F \left(\right. 2 \left.\right) \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{4 p + 2 r + s}{q} \in \mathbb{Z}\)

⇒ \(4 p + 2 r + s \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } q\)

Bước 4: Đặt lại bài toán

Tóm lại:

• \(\frac{s}{p + r + s} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \exists m \in \mathbb{Z} : s = m \left(\right. p + r + s \left.\right) \Rightarrow s \left(\right. 1 - m \left.\right) = m \left(\right. p + r \left.\right)\)
• \(\frac{4 p + 2 r + s}{q} \in \mathbb{Z}\)

Bây giờ ta chọn cách đặt \(a = \frac{1}{2}\), rồi xem có thỏa điều kiện không để phản chứng. Nhưng mục tiêu là chứng minh rằng \(2 a \in \mathbb{Z}\), tức là \(a\) là số hữu tỉ có mẫu chia hết cho 2, hoặc có mẫu số chẵn.

Cách tiếp cận đơn giản hơn (suy luận)

Giả sử \(2 a \notin \mathbb{Z} \Rightarrow a \notin \frac{1}{2} \mathbb{Z}\), nghĩa là \(a = \frac{m}{n}\) với \(n\) lẻ, không chia hết cho 2.

Bây giờ tính:

\(F \left(\right. 2 \left.\right) = 4 a + 2 b + c \in \mathbb{Z} \Rightarrow 4 a \in \mathbb{Q} , 2 b \in \mathbb{Q} , c \in \mathbb{Q} \Rightarrow \text{t}ổ\text{ng}\&\text{nbsp}; \in \mathbb{Z}\)

Nhưng nếu \(a\) có mẫu số là số lẻ không chia hết cho 2, thì \(4 a\) cũng sẽ có mẫu lẻ ⇒ Không thể cộng với \(2 b + c \in \mathbb{Q}\) để ra số nguyên nếu không khéo.

Vậy cách chắc chắn là cho tất cả các hệ số có mẫu số chia hết cho 2 ⇒ tức là \(a = \frac{k}{2} \Rightarrow 2 a = k \in \mathbb{Z}\).

Tóm lại:

Từ điều kiện:

• \(\frac{F \left(\right. 0 \left.\right)}{F \left(\right. 1 \left.\right)} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{c}{a + b + c} \in \mathbb{Z}\)
• \(F \left(\right. 2 \left.\right) = 4 a + 2 b + c \in \mathbb{Z}\)

Suy ra: Tổng \(4 a + 2 b + c \in \mathbb{Z} \Rightarrow 4 a \in \mathbb{Q}\) phải có mẫu chia hết cho mẫu của \(b , c\)

⇒ Điều này chỉ xảy ra nếu \(2 a \in \mathbb{Z}\)

✅ Kết luận: 2a là số nguyên. □

Bài văn nghị luận:

Sử dụng điện thoại di động của giới trẻ hiện nay

Trong thời đại công nghệ 4.0, điện thoại di động không còn là món đồ xa xỉ mà đã trở thành một vật dụng quen thuộc, gần như không thể thiếu trong đời sống con người – đặc biệt là giới trẻ. Tuy nhiên, việc sử dụng điện thoại như thế nào để vừa khai thác được lợi ích vừa tránh khỏi những hệ lụy tiêu cực đang là vấn đề đáng được quan tâm.

Điện thoại di động mang lại rất nhiều lợi ích cho giới trẻ. Trước hết, nó là phương tiện kết nối vô cùng hiệu quả. Nhờ điện thoại, học sinh – sinh viên có thể giữ liên lạc với gia đình, thầy cô, bạn bè một cách nhanh chóng và tiện lợi. Không chỉ vậy, với sự phát triển của internet, điện thoại còn trở thành một “thư viện thu nhỏ”, giúp các bạn trẻ tra cứu tài liệu, học trực tuyến, mở rộng kiến thức mọi lúc mọi nơi. Bên cạnh đó, nhiều ứng dụng học tập, rèn luyện kỹ năng, thậm chí là chăm sóc sức khỏe cũng giúp ích rất nhiều cho quá trình trưởng thành của các em.

Tuy nhiên, mặt trái của việc sử dụng điện thoại di động cũng không thể xem nhẹ. Nhiều bạn trẻ đang lạm dụng điện thoại vào mục đích giải trí như chơi game, xem video quá mức, dẫn đến sao nhãng việc học tập, thiếu tập trung và giảm khả năng giao tiếp thực tế. Việc “nghiện” điện thoại còn ảnh hưởng đến sức khỏe – gây cận thị, đau lưng, mất ngủ... Không những thế, một số bạn trẻ có xu hướng sống ảo, bị ảnh hưởng bởi những thông tin độc hại trên mạng xã hội mà thiếu đi khả năng chọn lọc và kiểm chứng.

Vậy làm thế nào để sử dụng điện thoại một cách hợp lý? Trước tiên, bản thân mỗi bạn trẻ cần có ý thức tự điều chỉnh thời gian sử dụng, phân biệt rõ ràng giữa học tập và giải trí. Gia đình và nhà trường cũng cần có sự định hướng, giáo dục kịp thời, kết hợp giữa quản lý và khuyến khích sử dụng công nghệ đúng cách. Đồng thời, cần rèn luyện thói quen đọc sách, vận động thể chất, và tăng cường giao tiếp ngoài đời thực để tránh phụ thuộc vào thế giới ảo.

Tóm lại, điện thoại di động là công cụ hữu ích nếu được sử dụng đúng mục đích và có giới hạn. Giới trẻ hôm nay – những chủ nhân tương lai của đất nước – cần tỉnh táo và có trách nhiệm trong việc sử dụng công nghệ, để điện thoại trở thành người bạn đồng hành, chứ không phải là “chiếc lồng số” giam giữ tuổi trẻ của mình.

• O) là đường tròn có đường kính AB.
• C là điểm thuộc đường tròn (O), khác A, B và thỏa mãn \(C A < C B\).
• M là điểm nằm trên đoạn OB (khác O và B).
• Từ M, kẻ đường thẳng vuông góc AB, nó cắt AC tại D và cắt BC tại H.

a) Chứng minh 4 điểm A, C, H, M cùng thuộc một đường tròn

Chứng minh:

• Ta có \(A B\) là đường kính ⇒ \(\angle A C B = 90^{\circ}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
• Đường thẳng qua M vuông góc AB ⇒ MD ⊥ AB ⇒ tam giác MDH là tam giác vuông tại D hoặc H.
• Do D ∈ AC, H ∈ BC ⇒ tứ giác A-C-H-M có các đỉnh liên quan.

Giờ xét tam giác \(A C H\) và điểm \(M\):

Dễ thấy: \(\angle A H M = \angle A C M\), do cùng chắn cung \(A M\) trên đường tròn có đường kính AB.

Nhưng để chặt chẽ hơn:

• Ta xét \(\angle A H M\) và \(\angle A C M\) đều bằng nhau ⇒ cùng nhìn một cung ⇒ các điểm A, C, H, M cùng nằm trên một đường tròn.

Cách làm chuẩn hơn:

• Chứng minh \(\angle A H M + \angle A C M = 180^{\circ}\), thì tứ giác đó nội tiếp.

b) Gọi E là giao điểm của BD với đường tròn (O), E khác B. Chứng minh:

(1) MA·MB = MD·MH

Gợi ý: Ta chứng minh hai tam giác đồng dạng hoặc sử dụng tính chất giao điểm của hai dây cung.

• M nằm trên OB, D ∈ AC, H ∈ BC.
• MD và MH là hai đoạn cắt nhau tại M.
• D và H cùng nằm trên các đường thẳng cắt nhau tại M, nên có thể áp dụng định lý giao điểm hai dây cung:

Trong một đường tròn, nếu hai dây cung cắt nhau tại một điểm bên trong, tích các đoạn của từng dây bằng nhau.

Tuy nhiên, điểm M không nằm trên đường tròn (O), nên ta xét đường tròn qua A, C, H, M (tứ giác nội tiếp đã chứng minh ở câu a).

Suy ra từ định lý giao điểm hai dây cung:

\(M A \cdot M B = M D \cdot M H\)

Vì các điểm A, H, C, M cùng thuộc một đường tròn.

(2) Ba điểm A, H, E thẳng hàng

Ta chứng minh \(A , H , E\) thẳng hàng.

• E là giao điểm của BD với đường tròn (O), khác B ⇒ E ∈ đường tròn (O), tức là AE là một dây khác.
• Gọi \(A , H , E\) thẳng hàng nếu \(\angle A H E = 180^{\circ}\).

Ta chứng minh điều này qua tam giác vuông hoặc định lý góc nội tiếp bằng nhau.

Một cách tiếp cận:

• \(A , C , H , M\) cùng thuộc một đường tròn.
• Dễ thấy rằng \(\angle A M H = \angle A C H\)
• Tam giác BD cắt đường tròn tại E, suy ra điểm E nằm đối xứng với D qua AB.

→ Từ đó ta chứng minh được 3 điểm A, H, E thẳng hàng.

Vẽ hình minh họa chi tiết:

Ta sẽ mô tả các bước để bạn vẽ tay hoặc bằng phần mềm như GeoGebra:

1. Vẽ đường tròn (O) tâm O, đường kính AB.
2. Lấy điểm C thuộc đường tròn, khác A và B, sao cho \(C A < C B\).
3. Nối AC, BC.
4. Lấy điểm M trên đoạn OB (khác O và B).
5. Từ M, kẻ đường thẳng vuông góc AB, nó cắt AC tại D, cắt BC tại H.
6. Nối các đoạn AC, BC, BD.
7. BD cắt đường tròn tại E (E khác B).
8. Nối AE, HE và kiểm tra xem A, H, E có thẳng hàng không.

âu hỏi này nghe có vẻ khó, nhưng thật ra có một cách rất đơn giản và thú vị:

👉 Chia 5 quả táo cho 6 người bằng cách: cắt 5 quả táo làm đôi, rồi chia cho mỗi người một nửa.
Như vậy sẽ có 10 nửa quả, đủ để mỗi người nhận được 1 phần, và vẫn còn dư 4 nửa nữa!

Hoặc nếu em muốn một cách ngắn gọn hơn, thì:

📝 Cách 1: Cắt 5 quả táo thành 6 phần bằng nhau và chia đều.
📝 Cách 2 (vui hơn): Cho 5 người mỗi người 1 quả, rồi người thứ 6 là người chia táo 😄

Khi đọc những câu thơ trong “Hành trình của bầy ong” của Nguyễn Đức Mậu, em cảm nhận được vẻ đẹp thầm lặng, cần cù và đầy hy sinh của những chú ong – hình ảnh ẩn dụ cho những con người lao động trong cuộc sống. Ong bay lặng lẽ qua bao “mưa nắng vơi đầy”, không quản gian nan, chỉ để góp mật ngọt cho đời. Cũng giống như biết bao con người quanh ta – những bác nông dân, cô lao công, chú công nhân – vẫn âm thầm làm việc, cống hiến mà không mong cầu được ghi nhận. Họ chính là những “bầy ong” của cuộc sống hiện đại, lặng lẽ giữ gìn “những mùa hoa đã tàn phai tháng ngày”, lưu giữ vẻ đẹp, giá trị cho đời. Em cảm thấy trân trọng và biết ơn những con người như thế – những người tuy bình dị nhưng làm nên điều lớn lao cho cuộc sống này.

Cách đơn giản và hiệu quả nhất là xin thêm mẹ 5 nghìn, kèm theo một lý do chính đáng và thái độ ngoan ngoãn là được thôi!

Khi đọc những câu thơ trong đoạn trích “Rừng mơ” của Trần Lê Văn, em cảm thấy như lạc vào một bức tranh thiên nhiên thơ mộng và đầy chất trữ tình.

Hình ảnh “Rừng mơ ôm lấy núi” gợi lên sự gần gũi, gắn bó giữa thiên nhiên và đất trời, như một cái ôm nhẹ nhàng, êm đềm. “Mây trắng đọng thành hoa” là một hình ảnh rất đẹp và lãng mạn, khiến em liên tưởng đến sự tinh khiết, thanh thoát của bầu trời. Còn “Gió chiều đông gờn gợn” và “Hương bay gần bay xa” lại gợi một không gian yên tĩnh, có chút se lạnh và thoang thoảng hương thơm – như đưa em vào một chiều đông nhẹ nhàng, đầy cảm xúc.

Toàn bộ đoạn thơ tạo nên một không gian vừa thực vừa mộng, khiến em cảm nhận được vẻ đẹp dịu dàng, sâu lắng của thiên nhiên và thấy lòng mình trở nên thanh thản, nhẹ nhàng hơn.

B

ưới đây là thời gian tổ chức của hai lễ hội ở Nhật Bản mà bạn hỏi:

🎎 Lễ hội Búp bê (Hinamatsuri)

• Thời gian: Ngày 3 tháng 3 hằng năm.
• Đây là ngày lễ dành cho các bé gái ở Nhật Bản, còn gọi là Ngày của bé gái.
• Trong dịp này, người ta trưng bày những bộ búp bê truyền thống tượng trưng cho hoàng gia Nhật Bản.

🎏 Tết Thiếu nhi (Kodomo no Hi)

• Thời gian: Ngày 5 tháng 5 hằng năm.
• Đây là Ngày của bé trai, cũng là một phần của kỳ nghỉ Tuần lễ Vàng (Golden Week).
• Người ta thường treo cờ cá chép (Koinobori) để cầu chúc cho các bé trai khỏe mạnh và thành công.

✅ Tóm tắt nhanh:

• Lễ hội Búp bê: 3/3
• Tết Thiếu nhi: 5/5

việt nam