Giả thiết:

• \(\angle A B C + \angle A B D = 180^{\circ}\)
• \(E\) là giao điểm phân giác trong của \(\angle B C D\) và \(\angle C D A\)
• \(C D = 2 C E\)

Chứng minh: \(\angle A D C = 2 \angle B C D\)

Giải:

Gọi:

• \(\angle B C D = x \Rightarrow \angle E C D = \frac{x}{2}\)
• \(\angle A D C = y \Rightarrow \angle C D E = \frac{y}{2}\)

Xét tam giác \(C D E\), tổng 3 góc:

\(\angle E C D + \angle C D E + \angle D E C = 180^{\circ} \Rightarrow \frac{x}{2} + \frac{y}{2} + \angle D E C = 180^{\circ} \left(\right. 1 \left.\right)\)

Mặt khác, theo định lý phân giác ngược:

\(\frac{\angle C D E}{\angle E C D} = \frac{C D}{C E} = 2 \Rightarrow \frac{\frac{y}{2}}{\frac{x}{2}} = 2 \Rightarrow \frac{y}{x} = 2 \Rightarrow y = 2 x\)

hi bn

Ta có tỷ lệ thức:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} , \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; b , d \neq 0\)

🔹 a) Chứng minh:

\(\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}\)

✳️ Chứng minh:

Xuất phát từ \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), ta cộng 1 vào cả hai vế:

\(\frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1 \Rightarrow \frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}\)

👉 Điều này đúng theo tính chất cộng đại lượng vào tỉ số.

✅ Vậy:

\(\boxed{\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}}\)

🔹 b) Chứng minh:

\(\frac{a - c}{c} = \frac{b - d}{d}\)

✳️ Cách làm:

Từ \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), áp dụng tính chất hiệu của các số tỉ lệ, ta có:

\(\frac{a - c}{b - d} = \frac{c}{d}\)

👉 Nhưng ta cần chứng minh:

\(\frac{a - c}{c} = \frac{b - d}{d}\)

✳️ Biến đổi:

Lấy tỉ số \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), ta nhân chéo:

\(a \cdot d = b \cdot c\)

Giờ xét vế trái của đẳng thức cần chứng minh:

\(\frac{a - c}{c} = \frac{a}{c} - 1 \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \frac{b - d}{d} = \frac{b}{d} - 1\)

Ta cần chứng minh:

\(\frac{a}{c} - 1 = \frac{b}{d} - 1 \Rightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d}\)

Mà từ \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), suy ra \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\) (do tỉ lệ chéo).
⇒ Điều phải chứng minh.

✅ Vậy:

\(\boxed{\frac{a - c}{c} = \frac{b - d}{d}}\)

✅ Kết luận:

Nếu \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), thì:

• a) \(\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}\)
• b) \(\frac{a - c}{c} = \frac{b - d}{d}\)

a) \(\left(\right. x - 1 \left.\right) : 1,5 = 2,8 : 0,5\)

Bước 1: Áp dụng tính chất tỉ lệ thức:

Nếu \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) thì \(a \cdot d = b \cdot c\)

Ta có:

Bước 2: Tính toán:

• \(2,8 \cdot 1,5 = 4,2\)

=> \(\left(\right. x - 1 \left.\right) \cdot 0,5 = 4,2\)

Bước 3: Giải phương trình:

b) \(\frac{2,2 \overset{\overline}{3}}{x} = \frac{1,9 \overset{\overline}{7}}{0,2}\)

Chuyển số thập phân vô hạn tuần hoàn về phân số để dễ tính:

Bước 1: Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn sang phân số:

• \(2,2 \overset{\overline}{3} = \frac{67}{30}\)
• \(1,9 \overset{\overline}{7} = \frac{59}{30}\)

(Chi tiết nếu bạn cần mình có thể trình bày rõ các bước đổi.)

Bước 2: Áp dụng tỉ lệ thức:

Bước 3: Nhân chéo:

c) \(0,6 : x = x : 2,4\)

Đây là dạng tỉ lệ thức chéo → áp dụng tính chất:

✅ Kết luận:

• a) \(x = \boxed{9,4}\)
• b) \(x = \boxed{\frac{67}{295}} \approx \boxed{0,2271}\)
• c) \(x = \boxed{1,2}\)

Nếu bạn cần giải chi tiết phần đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số, mình có thể bổ sung ngay!

Để giải bài toán: Đánh số trang của cuốn sách Toán tập 1 gồm 130 trang, ta cần xác định:

1. Tổng số số trang được đánh (chính là 130 số trang: từ 1 đến 130)
2. Tổng số chữ số cần dùng để viết các số từ 1 đến 130

✅ Bước 1: Phân tích theo số chữ số của từng đoạn

Ta chia các số từ 1 đến 130 thành 3 đoạn:

📌 Số có 1 chữ số (từ 1 đến 9):

• Có: \(9\) số
• Mỗi số dùng: \(1\) chữ số
• Tổng chữ số: \(9 \times 1 = 9\)

📌 Số có 2 chữ số (từ 10 đến 99):

• Có: \(99 - 10 + 1 = 90\) số
• Mỗi số dùng: \(2\) chữ số
• Tổng chữ số: \(90 \times 2 = 180\)

📌 Số có 3 chữ số (từ 100 đến 130):

• Có: \(130 - 100 + 1 = 31\) số
• Mỗi số dùng: \(3\) chữ số
• Tổng chữ số: \(31 \times 3 = 93\)

✅ Bước 2: Tổng hợp kết quả

• Tổng số trang được đánh: 130
• Tổng số chữ số cần dùng:
  \(9 + 180 + 93 = \boxed{282 \&\text{nbsp};\text{ch}ữ\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}}}\)

✅ Kết luận:

• Cần 130 số để đánh số từ 1 đến 130.
• Cần 282 chữ số để viết các số từ 1 đến 130.

Chúng ta cùng giải lại chi tiết bài toán hình học này:

Đề bài:

• Tam giác \(A B C\) ngoại tiếp đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) ⇒ (O) là đường tròn nội tiếp tam giác \(A B C\).
• Chu vi tam giác \(A B C = 20 \textrm{ } \text{cm}\)
• Một tiếp tuyến của đường tròn (O), song song với cạnh BC, cắt \(A B\) tại \(M\), cắt \(A C\) tại \(N\)
• Biết \(M N = 2,4 \textrm{ } \text{cm}\)

Yêu cầu: Tính độ dài \(B C\)

Phân tích hình học:

🟢 1. Gọi độ dài các cạnh:

• \(A B = c\), \(B C = a\), \(C A = b\)
• Chu vi tam giác: \(a + b + c = 20\)
• Nửa chu vi: \(s = \frac{a + b + c}{2} = 10\)

🟢 2. Vai trò của đoạn MN:

• Do (O) là đường tròn nội tiếp nên tiếp tuyến song song với cạnh \(B C\), cắt \(A B\) tại \(M\), cắt \(A C\) tại \(N\), chính là đoạn nối hai điểm tiếp xúc của (O) với cạnh \(A B\) và \(A C\), tức là đoạn \(F E\).
• Ta biết:
  \(M N = F E = \left(\right. s - b \left.\right) + \left(\right. s - c \left.\right) = 2 s - \left(\right. b + c \left.\right)\)

Nhưng từ chu vi:

Thế vào công thức:

✅ Kết luận:

💡 Ghi nhớ:

Trong tam giác ngoại tiếp đường tròn, đoạn thẳng nối 2 điểm tiếp xúc trên 2 cạnh và song song cạnh còn lại sẽ bằng chính độ dài cạnh đó. Đây là một ứng dụng hình học tinh tế và hay!

Ta có hệ 3 đẳng thức giữa các tích 2 ẩn:

\(a b = - \frac{6}{7} , b c = \frac{4}{3} , c a = - \frac{7}{30}\)

Ta cần tìm các số \(a , b , c\). Ta làm như sau:

Bước 1: Nhân cả 3 phương trình với nhau

\(\left(\right. a b \left.\right) \left(\right. b c \left.\right) \left(\right. c a \left.\right) = \left(\right. - \frac{6}{7} \left.\right) \left(\right. \frac{4}{3} \left.\right) \left(\right. - \frac{7}{30} \left.\right)\)

Vế trái:

\(\left(\right. a b \left.\right) \left(\right. b c \left.\right) \left(\right. c a \left.\right) = \left(\right. a^{2} \left.\right) \left(\right. b^{2} \left.\right) \left(\right. c^{2} \left.\right) \Rightarrow \left(\right. a b c \left.\right)^{2}\)

Vế phải:

\(\left(\right. - \frac{6}{7} \left.\right) \left(\right. \frac{4}{3} \left.\right) \left(\right. - \frac{7}{30} \left.\right) = \frac{6 \cdot 4 \cdot 7}{7 \cdot 3 \cdot 30} = \frac{168}{630}\)

Rút gọn:

\(\frac{168}{630} = \frac{28}{105} = \frac{4}{15}\)

Vì có 2 dấu âm nên kết quả là dương:

\(\left(\right. a b c \left.\right)^{2} = \frac{4}{15} \Rightarrow a b c = \pm \sqrt{\frac{4}{15}} = \pm \frac{2}{\sqrt{15}} = \pm \frac{2 \sqrt{15}}{15}\)

Bước 2: Giải từng ẩn

Chọn 1 giá trị cụ thể để tìm \(a , b , c\). Giả sử \(a b c = \frac{2 \sqrt{15}}{15}\)

Ta có:

\(a b = - \frac{6}{7} \Rightarrow c = \frac{a b c}{a b} = \frac{\frac{2 \sqrt{15}}{15}}{- \frac{6}{7}} = \frac{2 \sqrt{15}}{15} \cdot \left(\right. - \frac{7}{6} \left.\right) = - \frac{14 \sqrt{15}}{90} = - \frac{7 \sqrt{15}}{45}\) \(b c = \frac{4}{3} \Rightarrow a = \frac{a b c}{b c} = \frac{\frac{2 \sqrt{15}}{15}}{\frac{4}{3}} = \frac{2 \sqrt{15}}{15} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6 \sqrt{15}}{60} = \frac{\sqrt{15}}{10}\) \(c a = - \frac{7}{30} \Rightarrow b = \frac{a b c}{c a} = \frac{\frac{2 \sqrt{15}}{15}}{- \frac{7}{30}} = \frac{2 \sqrt{15}}{15} \cdot \left(\right. - \frac{30}{7} \left.\right) = - \frac{60 \sqrt{15}}{105} = - \frac{4 \sqrt{15}}{7}\)

Kết quả:

Một bộ nghiệm là:

\(\boxed{a = \frac{\sqrt{15}}{10} , b = - \frac{4 \sqrt{15}}{7} , c = - \frac{7 \sqrt{15}}{45}}\)

Nếu bạn chọn \(a b c = - \frac{2 \sqrt{15}}{15}\), thì mọi giá trị trên sẽ đổi dấu.

Dưới đây là phần hướng dẫn trả lời chi tiết cho từng câu hỏi dựa trên đoạn trích:

Câu 1. Xác định luận điểm ở đoạn văn 1

Luận điểm:

Tài năng không phải là thứ bẩm sinh, mà là kết quả của sự rèn luyện nghiêm khắc, kiên trì và bền bỉ.

Câu 2. Chỉ ra một lí lẽ trong đoạn văn 2

Lí lẽ:

Trước khi nghĩ đến việc tiếp thu kiến thức hay giải bài khó, điều quan trọng trước hết là phải bồi đắp tình yêu thương – vì đó là nguồn năng lượng giúp tài năng phát triển đúng hướng và bền vững.

Câu 3. Nêu tác dụng của việc sử dụng bằng chứng trong đoạn văn 1

Tác dụng:

Việc sử dụng câu nói "Ngọc bất trác bất thành khí" và các hình ảnh so sánh như đá quý, ngọc… giúp lập luận trở nên sinh động, dễ hiểu, đồng thời nhấn mạnh vai trò quan trọng của sự rèn luyện trong việc hình thành tài năng.

Câu 4. Nêu thông điệp từ đoạn trích

Thông điệp:

Tài năng chỉ có được qua quá trình rèn luyện nghiêm túc và lâu dài, nhưng để trở thành người có ích, cần có tình yêu thương và đạo đức. Hãy sống khiêm nhường, biết yêu thương để phát triển tài năng đúng hướng và trở thành người có ích cho xã hội.

Câu 5. Hai lối nhỏ mà người xưa xây dựng ở Văn Miếu Quốc tử giám Hà Nội có mang tên “Thành đức” và “Đạt tài”, em sẽ chọn “lối đi nào” để vào đời? Vì sao?

Gợi ý trả lời (có thể cá nhân hóa theo cảm nhận của học sinh):

Em sẽ chọn “Thành đức” để vào đời, bởi em tin rằng đạo đức là nền tảng quan trọng nhất của con người. Khi có đạo đức, có lòng yêu thương, khiêm nhường và sống đúng đắn, em sẽ dần phát triển và đạt được tài năng một cách đúng hướng và bền vững. Như đoạn trích đã nói, tài năng thiếu đạo đức dễ trở thành bi kịch hoặc bị sử dụng sai lạc.

ê bn

Phân tích đề bài:

• Gọi \(M\) là giao điểm hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) của hình bình hành \(C A B D\).
• Vì \(C A B D\) là hình bình hành nên \(M\) là trung điểm của cả \(A C\) và \(B D\).
• \(A\) và \(B\) cố định. \(C\) di động trên đường tròn \(\left(\right. O , R \left.\right)\).
• Dựng điểm \(D\) sao cho \(C A B D\) là hình bình hành \(\Rightarrow \overset{⃗}{A D} = \overset{⃗}{C B} \Rightarrow D = A + \overset{⃗}{C B}\).

Hướng chứng minh:

1. Tìm biểu thức vị trí của điểm \(M\) theo \(C\).
2. Chứng minh rằng quỹ tích điểm \(M\) là một đường tròn cố định.

Giải:

Giả sử ta làm việc trong mặt phẳng tọa độ.

• Gọi vị trí điểm \(A\), \(B\) là các vectơ \(\overset{⃗}{a}\), \(\overset{⃗}{b}\), điểm \(C\) là \(\overset{⃗}{c}\), điểm \(D\) được xác định sao cho \(C A B D\) là hình bình hành. Khi đó:

(Giải thích: Trong hình bình hành, \(\overset{⃗}{A D} = \overset{⃗}{C B} = \overset{⃗}{b} - \overset{⃗}{c}\), nên \(\overset{⃗}{D} = \overset{⃗}{A} + \left(\right. \overset{⃗}{b} - \overset{⃗}{c} \left.\right) = \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} - \overset{⃗}{c}\)).

Giao điểm hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) là điểm \(M\), trung điểm của \(A C\) và cũng là trung điểm của \(B D\). Ta chọn công thức trung điểm theo \(A\) và \(C\):

Vì \(\overset{⃗}{C}\) thay đổi trên đường tròn \(\left(\right. O , R \left.\right)\), và \(A\) cố định, nên \(\overset{⃗}{M} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{C}}{2}\) sẽ di chuyển theo quy luật.

Dùng hình học giải thích:

• Ta coi đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) cố định, điểm \(C\) di chuyển trên đường tròn.
• Lấy trung điểm \(I\) của đoạn \(A B\). Vì \(A B\) cố định, \(I\) là điểm cố định.
• Mỗi khi \(C\) thay đổi, ta dựng hình bình hành \(C A B D\), thì trung điểm \(M\) của đoạn chéo \(A C\) sẽ thay đổi.

Ta sẽ chứng minh rằng điểm \(M\) luôn nằm trên một đường tròn cố định.

Ý tưởng hay: Sử dụng đối xứng

Ta biết rằng trong hình bình hành, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Ta khai thác yếu tố đối xứng.

Ta dùng biến đổi vectơ như sau:

Khi \(C\) thay đổi trên đường tròn tâm \(O\), hãy xem quỹ tích \(\overset{⃗}{M}\) có dạng gì.

Ta đặt \(C = O + R \cdot \overset{⃗}{u}\) với \(\overset{⃗}{u}\) là vectơ đơn vị thay đổi (do \(C\) di chuyển trên đường tròn).

Như vậy, điểm \(M\) di chuyển trên đường tròn bán kính \(\frac{R}{2}\), tâm là điểm:

Tức là trung điểm của đoạn \(A O\).

Kết luận:

Giao điểm \(M\) của hai đường chéo hình bình hành \(C A B D\) luôn nằm trên đường tròn cố định bán kính bằng nửa bán kính đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\), và tâm là trung điểm đoạn \(A O\).

Tổng quát hình học:

• Dù điểm \(C\) thay đổi trên đường tròn, điểm \(M\) (trung điểm \(A C\)) luôn nằm trên đường tròn đường kính \(A O\), bán kính \(\frac{A O}{2}\).
• Vì vậy, quỹ tích điểm \(M\) là một đường tròn cố định, không phụ thuộc vào vị trí của \(C\).

Trả lời ngắn gọn:

Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành \(C A B D\) luôn nằm trên một đường tròn cố định, vì đó là trung điểm đoạn \(A C\), với \(A\) cố định và \(C\) chạy trên đường tròn. Quỹ tích điểm \(M\) là một đường tròn bán kính bằng nửa bán kính đường tròn ban đầu, có tâm là trung điểm đoạn \(A O\).