Xét tam giác ABC có:

BM là đường trung tuyến ứng với cạnh AC mà BM =1/2 AC Suy ra tam giác ABC cân tại B

xét hình thang vuông ABCD có:

góc A= góc D=góc B=90 độ

Suy ra Hình thang vuông ABCD là hình chữ nhật

a,vì ABCD là hình bình hành ta có:

AB//DC

AB=DC

Xét tứ giác AEFD có:

AE//DF(vì AB//DC)

AB= CD(cm trên) Mà B; C lần lượt là trung điểm của AE và DF suy ra AB=BE=DC=CF

Suy ra AEFD là hình bình hành

Xét tứ giác ABFC có:

AB=CF( CM trên)

AB//CF(vì AB//DC)

Suy ra tứ giác ABFC là hình bình hành

b,vì AEFD là hình bình hành nên có hai đường chéo AF và ED cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi nó là O.

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo là AF và BC

Mà O cũng là trung điểm của AF 

Suy ra O cũng là trung điểm của BC

Suy ra ba đoạn thẳng AF, DE, BC có trung điểm trùng nhau

vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên ta có:

AB // DC 

AC và BD cắt nhau tại O(O là giao điểm của hai đường chéo)

suy ra: OB=OA=OC =OD

xét tam giác OAM và tam giác OCN ta có:

gócAOM=gócCON(đối đỉnh)

OA=OC(chứng minh trên)

vì AB//DC suy ra: AM//CN

suy ra:góc AMO=góc CNO(2 góc soletrong)

suy ra: tam giác OAM= tam giác OCN (g.c,g)

Suy ra: AM=CN(2 cạnh tương ứng)

Mặt khác:AB=DC(CM trên)

mà AB=AM+MB; DC=CN+ND

suy ra:MB=ND

xét tứ giác MBND có:

MB//DN(vì AB//DC)

MB=DN(CM trên)

Suy ra: tứ giác MBND là hình bình hành

giải:

a,

vì ABCD là hình bình hành, ta có:

AB=CD(tính chất hình bình hành)

AB song song với DC(định nghĩa hình bình hành)

Mà E lại là trung điểm của AB và F là trung điểm của CD nên ta có:

EA=EB=FD=FC

Suy ra: tứ giác AEFD có

EA=FD(chứng minh trên)

AB song song DC (chứng minh trên)suy ra AE song song với DF

Suy ra: tứ giác AEFD là hình bình hành

xét tứ giác AECF có:

AE=CF(chứng minh trên)

AB song song CD(chứng minh trên) suy ra AE song song FC

Suy ra: tứ giác AECF là hình bình hành

b,

vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF=AD

vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF=EC

Vậy EF=AD, AF=EC

giải:

xét tứ giác AHCD có:

IA=IC(giả thiết) và I thuộc AC

IH=ID(giả thiết) và I thuộc HD

suy ra: tứ giác AHCD là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết)

Mà H=1vuong vì AH vuông góc với CB

suy ra: hình bình hành AHCD là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)