a) Gọi $I$ là trung điểm của $OM$. Xét tam giác vuông $MAO$ có $AI$ là trung tuyến nên $AI=IM=IO$(1)

Tương tự, xét tam giác $MBO$ có $BI=IM=IO$(2)

Từ (1) và (2), suy ra $AI=IM=IO=IB$. Vậy $A,M,B,O$ cùng thuộc đường tròn tâm $I$, bán kính $IA$.

b) Gọi $H$ là giao điểm của $OM$ và $AB$. Theo tính chất, hai tiếp tuyến cắt nhau ta có $OM$ là phân giác góc $AOB$.

Mặt khác $AOB$ là tam giác cân tại $O$, nên $OH$ cũng là đường cao, đường trung tuyến của $\Delta AOB$.

Khi đó $AH=BH=3$ cm.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông $AHO$, ta có:

HO=AO2−AH2=52−32=4HO=AO2−AH2​=52−32​=4(cm).

Ta có $\sin \widehat{AOH}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AH}{AO}=\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{5}$

Suy ra $\widehat{AOB}=2\widehat{AOH}\approx 74^{\circ }$.

c) Ta có $\cos \widehat{AOH}=\genfrac{}{}{0ex}{}{OH}{AO}=\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{5}$.

Xét tam giác vuông $MAO$, ta có:

$\cos \widehat{AOH}=\cos \widehat{AOM}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AO}{OM}$

Suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{AO}{OM}=\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{5}$, khi đó $OM=\genfrac{}{}{0ex}{}{5OA}{4}=\genfrac{}{}{0ex}{}{25}{4}$(cm).

Xét tam giác cân $OMD$ có $OA$ là đường cao nên cũng là phân giác, đường trung tuyến.

Suy ra $\widehat{DOC}=4\widehat{AOM}=4\widehat{AOH}\approx 148^{\circ }$. Hay số đo cung nhỏ $CD$ bằng $148^{\circ }$.

Do đó diện tích hình quạt ứng với cung nhỏ $CD$ là:

$S^q=\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{360}.\pi R^2=\genfrac{}{}{0ex}{}{148}{350}.\pi .(\genfrac{}{}{0ex}{}{25}{4}{)}^2\approx 50$ (cm${}^2$)

Xét tam giác vuông ADC, ta có: $\widehat{ADC}+\widehat{ACD}=90^{\circ }$

Xét tam giác vuông ABC, ta có: $\widehat{ACB}+\widehat{ACD}=90^{\circ }$

Suy ra $\widehat{ACB}=\widehat{ADC}$.

Khi đó $\tan \widehat{ACB}=\tan \widehat{ADC}$.

Hay $\genfrac{}{}{0ex}{}{AB}{AC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AC}{AD}$.

Suy ra $AB=\genfrac{}{}{0ex}{}{AC.AC}{AD}=\genfrac{}{}{0ex}{}{30.30}{20}=45$ (m).

Từ đó tính được $\widehat{ACB}\approx 56^{\circ }$.

a. Rút gọn $P.$

Điều kiện: $0<a\ne 1$

$P=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{a}}{2}-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2\sqrt{a}}{)}^2.(\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}-\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1})$​

$P=(\genfrac{}{}{0ex}{}{a-1}{2\sqrt{a}}{)}^2.(\genfrac{}{}{0ex}{}{(\sqrt{a}-1{)}^2-(\sqrt{a}+1{)}^2}{a-1})$

$P=\genfrac{}{}{0ex}{}{{(a-1)}^2}{4a}.\genfrac{}{}{0ex}{}{-4\sqrt{a}}{a-1}$

$P=\genfrac{}{}{0ex}{}{1-a}{\sqrt{a}}.$

b. Tìm các giá trị của $a$ để $P<0$.

Để $P<0$ thì $\genfrac{}{}{0ex}{}{1-a}{\sqrt{a}}<0$

khi đó $1-a<0$ (vì $\sqrt{a}>0$)

hay $a>1$ (tmđk).

Vậy $a>1$ thì $P<0.$

Gọi số công nhân và số ngày theo dự định lần lượt là $x$(công nhân), $y$ (ngày).

Điều kiện: $x>10,y>2,x\in N$.

Lượng công việc theo dự định là $xy$ (ngày công).

Trường hợp 1: Số công nhân là $x+10$ (công nhân), số ngày là $y-2$ (ngày).

Do đó lượng công việc là $(x+10)(y-2)$ (ngày công).

Vì lượng công việc không đổi nên ta có phương trình

$(x+10)(y-2)=xy$

$-2x+10y=20(1)$

Trường hợp 2: Số công nhân là $x-10$ (công nhân), số ngày là $y+3$ (ngày).

Do đó lượng công việc là $(x-10)(y+3)$ (ngày công).

Vì lượng công việc không đổi nên ta có phương trình

$(x-10)(y+3)=xy$

hay $3x-10y=30(2)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

{−2x+10y=203x−10y=30{​−2x+10y=203x−10y=30​

{x=50y=12{​x=50y=12​ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy số công nhân và số ngày theo dự định lần lượt là $50$(công nhân), $12$ (ngày).

3√3