Nguyễn Thị Hồng Như
Giới thiệu về bản thân
"Xét tam giác vuông ADC, ta có:
𝐴
𝐷
𝐶
^
+
𝐴
𝐶
𝐷
^
=
9
0
∘
ADC
+
ACD
=90
∘
Xét tam giác vuông ABC, ta có:
𝐴
𝐶
𝐵
^
+
𝐴
𝐶
𝐷
^
=
9
0
∘
ACB
+
ACD
=90
∘
Suy ra
𝐴
𝐶
𝐵
^
=
𝐴
𝐷
𝐶
^
ACB
=
ADC
.
Khi đó
tan
𝐴
𝐶
𝐵
^
=
tan
𝐴
𝐷
𝐶
^
tan
ACB
=tan
ADC
.
Hay
𝐴
𝐵
𝐴
𝐶
=
𝐴
𝐶
𝐴
𝐷
AC
AB
=
AD
AC
.
Suy ra
𝐴
𝐵
=
𝐴
𝐶
.
𝐴
𝐶
𝐴
𝐷
=
30.30
20
=
45
AB=
AD
AC.AC
=
20
30.30
=45 (m).
Từ đó tính được
𝐴
𝐶
𝐵
^
≈
5
6
∘
ACB
≈56
∘
."
Gọi số công nhân và số ngày theo dự định lần lượt là
𝑥
x (công nhân),
𝑦
y (ngày).
Điều kiện:
𝑥
>
10
,
𝑦
>
2
,
𝑥
∈
𝑁
x>10,y>2,x∈N.
Lượng công việc theo dự định là
𝑥
𝑦
xy (ngày công).
Trường hợp 1: Số công nhân là
𝑥
+
10
x+10 (công nhân), số ngày là
𝑦
−
2
y−2 (ngày).
Do đó lượng công việc là
(
𝑥
+
10
)
(
𝑦
−
2
)
(x+10)(y−2) (ngày công).
Vì lượng công việc không đổi nên ta có phương trình
(
𝑥
+
10
)
(
𝑦
−
2
)
=
𝑥
𝑦
(x+10)(y−2)=xy
−
2
𝑥
+
10
𝑦
=
20
(
1
)
−2x+10y=20(1)
Trường hợp 2: Số công nhân là
𝑥
−
10
x−10 (công nhân), số ngày là
𝑦
+
3
y+3 (ngày).
Do đó lượng công việc là
(
𝑥
−
10
)
(
𝑦
+
3
)
(x−10)(y+3) (ngày công).
Vì lượng công việc không đổi nên ta có phương trình
(
𝑥
−
10
)
(
𝑦
+
3
)
=
𝑥
𝑦
(x−10)(y+3)=xy
hay
3
𝑥
−
10
𝑦
=
30
(
2
)
3x−10y=30(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
{
−
2
𝑥
+
10
𝑦
=
20
3
𝑥
−
10
𝑦
=
30
{
−2x+10y=20
3x−10y=30
{
𝑥
=
50
𝑦
=
12
{
x=50
y=12
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy số công nhân và số ngày theo dự định lần lượt là
50
50 (công nhân),
12
12 (ngày).
"a. Rút gọn
𝑃
.
P.
Điều kiện:
0
<
𝑎
≠
1
0<a
=1
𝑃
=
(
𝑎
2
−
1
2
𝑎
)
2
.
(
𝑎
−
1
𝑎
+
1
−
𝑎
+
1
𝑎
−
1
)
P=(
2
a
−
2
a
1
)
2
.(
a
+1
a
−1
−
a
−1
a
+1
)
𝑃
=
(
𝑎
−
1
2
𝑎
)
2
.
(
(
𝑎
−
1
)
2
−
(
𝑎
+
1
)
2
𝑎
−
1
)
P=(
2
a
a−1
)
2
.(
a−1
(
a
−1)
2
−(
a
+1)
2
)
𝑃
=
(
𝑎
−
1
)
2
4
𝑎
.
−
4
𝑎
𝑎
−
1
P=
4a
(a−1)
2
.
a−1
−4
a
𝑃
=
1
−
𝑎
𝑎
.
P=
a
1−a
.
b. Tìm các giá trị của
𝑎
a để
𝑃
<
0
P<0.
Để
𝑃
<
0
P<0 thì
1
−
𝑎
𝑎
<
0
a
1−a
<0
khi đó
1
−
𝑎
<
0
1−a<0 (vì
𝑎
>
0
a
>0)
hay
𝑎
>
1
a>1 (tmđk).
Vậy
𝑎
>
1
a>1 thì
𝑃
<
0.
P<0."
"a) Gọi
𝐼
I là trung điểm của
𝑂
𝑀
OM. Xét tam giác vuông
𝑀
𝐴
𝑂
MAO có
𝐴
𝐼
AI là trung tuyến nên
𝐴
𝐼
=
𝐼
𝑀
=
𝐼
𝑂
AI=IM=IO (1)
Tương tự, xét tam giác
𝑀
𝐵
𝑂
MBO có
𝐵
𝐼
=
𝐼
𝑀
=
𝐼
𝑂
BI=IM=IO (2)
Từ (1) và (2), suy ra
𝐴
𝐼
=
𝐼
𝑀
=
𝐼
𝑂
=
𝐼
𝐵
AI=IM=IO=IB. Vậy
𝐴
,
𝑀
,
𝐵
,
𝑂
A,M,B,O cùng thuộc đường tròn tâm
𝐼
I, bán kính
𝐼
𝐴
IA.
b) Gọi
𝐻
H là giao điểm của
𝑂
𝑀
OM và
𝐴
𝐵
AB. Theo tính chất, hai tiếp tuyến cắt nhau ta có
𝑂
𝑀
OM là phân giác góc
𝐴
𝑂
𝐵
AOB.
Mặt khác
𝐴
𝑂
𝐵
AOB là tam giác cân tại
𝑂
O, nên
𝑂
𝐻
OH cũng là đường cao, đường trung tuyến của
Δ
𝐴
𝑂
𝐵
ΔAOB.
Khi đó
𝐴
𝐻
=
𝐵
𝐻
=
3
AH=BH=3 cm.
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông
𝐴
𝐻
𝑂
AHO, ta có:
𝐻
𝑂
=
𝐴
𝑂
2
−
𝐴
𝐻
2
=
5
2
−
3
2
=
4
HO=
AO
2
−AH
2
=
5
2
−3
2
=4 (cm).
Ta có
sin
𝐴
𝑂
𝐻
^
=
𝐴
𝐻
𝐴
𝑂
=
3
5
sin
AOH
=
AO
AH
=
5
3
Suy ra
𝐴
𝑂
𝐵
^
=
2
𝐴
𝑂
𝐻
^
≈
7
4
∘
AOB
=2
AOH
≈74
∘
.
c) Ta có
cos
𝐴
𝑂
𝐻
^
=
𝑂
𝐻
𝐴
𝑂
=
4
5
cos
AOH
=
AO
OH
=
5
4
.
Xét tam giác vuông
𝑀
𝐴
𝑂
MAO, ta có:
cos
𝐴
𝑂
𝐻
^
=
cos
𝐴
𝑂
𝑀
^
=
𝐴
𝑂
𝑂
𝑀
cos
AOH
=cos
AOM
=
OM
AO
Suy ra
𝐴
𝑂
𝑂
𝑀
=
4
5
OM
AO
=
5
4
, khi đó
𝑂
𝑀
=
5
𝑂
𝐴
4
=
25
4
OM=
4
5OA
=
4
25
(cm).
Xét tam giác cân
𝑂
𝑀
𝐷
OMD có
𝑂
𝐴
OA là đường cao nên cũng là phân giác, đường trung tuyến.
Suy ra
𝐷
𝑂
𝐶
^
=
4
𝐴
𝑂
𝑀
^
=
4
𝐴
𝑂
𝐻
^
≈
14
8
∘
DOC
=4
AOM
=4
AOH
≈148
∘
. Hay số đo cung nhỏ
𝐶
𝐷
CD bằng
14
8
∘
148
∘
.
Do đó diện tích hình quạt ứng với cung nhỏ
𝐶
𝐷
CD là:
𝑆
𝑞
=
𝑛
360
.
𝜋
𝑅
2
=
148
350
.
𝜋
.
(
25
4
)
2
≈
50
S
q
=
360
n
.πR
2
=
350
148
.π.(
4
25
)
2
≈50 (cm
2
2
).
Gọi tên khu vui chơi hình chữ nhật là ABCD
Đặt OA=x(0<x<10) (cm).
Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông ADO, ta có:
AD= √10²-
10
2
−x
2
(cm).
Khi đó diện tích của khu vui chơi là:
A
D
.
A
B
=
2
x
.
1
0
2
−
x
2
≤
x
2
+
1
0
2
−
x
2
=
100
AD.AB=2x.
10
2
−x
2
≤x
2
+10
2
−x
2
=100 (cm
2
2
).
Dấu “=” xảy ra, khi
x
=
1
0
2
−
x
2
x=
10
2
−x
2
x
2
=
1
0
2
−
x
2
x
2
=10
2
−x
2
x
=
5
2
x=5
2
(cm).
Vậy diện tích lớn nhất của khu vui chơi là
100
100 cm
2
2
và đạt được khi hai cạnh lần lượt là
5
2
5
2
cm và
10
2
10
2
cm.
A=2√12-√48+3√27-√108
A=2×2√3-4√3+9√3-6√3
A=3√3
Trong kì thi tuyển sinh vào lớp 10, hai trường A và B có 840 học sinh thi đỗ vào lớp 10 công lập và đạt tỉ lệ thi đỗ là 84%. Riêng trường A tỉ lệ thi đỗ là 80%, ri
Giải
- Vì 840 học sinh đạt tỉ lệ đỗ 84% nên tổng số thí sinh dự thi của cả hai trường là:
840 : 84% = 1000 (học sinh)
- Gọi số học sinh dự thi của trường A là x, số học sinh dự thi của trường B là y.
Theo bài ra, ta có hệ phương trình:
- x + y = 1000
-80%x + 90%y = 840
- Từ phương trình thứ nhất, ta có:
y = 1000 - x
-Thay y vào phương trình thứ hai, ta được:
- 80%x + 90%(1000 - x) = 840
- 0.8x + 900 - 0.9x = 840
- -0.1x = -60
- x = 600
- Thay x = 600 vào y = 1000 - x, ta được:
- y = 1000 - 600 = 400
Kết luận:
- Số học sinh dự thi của trường A là 600 học sinh.
- Số học sinh dự thi của trường B là 400 học sinh.
Vậy, trường A có 600 học sinh dự thi và trường B có 400 học sinh dự thi.
A=6√5=13,41640786