Nguyễn Thị Hồng Như
Giới thiệu về bản thân
"Gọi
𝑥
x là số máy in mà nhà xuất bản sử dụng
(
1
≤
𝑥
≤
14
)
(1≤x≤14).
Chi phí lắp đặt là
120
𝑥
120x (nghìn đồng).
Số giờ để sản xuất đủ số ấn phẩm là:
4
000
30
𝑥
30x
4000
(giờ).
Chi phí giám sát là:
90.
4
000
30
𝑥
=
12
000
𝑥
90.
30x
4000
=
x
12000
(nghìn đồng).
Chi phí sản xuất của nhà sản xuất là:
𝐴
=
120
𝑥
+
12
000
𝑥
A=120x+
x
12000
(nghìn đồng).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
𝐴
=
120
𝑥
+
12
000
𝑥
≥
2
120
𝑥
.
12
000
𝑥
=
2
400
A=120x+
x
12000
≥2
120x.
x
12000
=2400.
Dấu bằng xảy ra khi
120
𝑥
=
12
000
𝑥
120x=
x
12000
hay
𝑥
=
10
x=10.
Vậy số máy in nhà xuất bản nên sử dụng để chi phí in là nhỏ nhất là
10
10 máy."
Dựa vào hình vẽ minh họa, ta có:
𝐴
𝐻
=
𝐵
𝐷
=
10
AH=BD=10 m.
Xét
Δ
𝐴
𝐻
𝐵
ΔAHB vuông tại
𝐻
H, ta có:
tan
𝐵
𝐴
𝐻
^
=
𝐵
𝐻
𝐴
𝐻
tan
BAH
=
AH
BH
(tỉ số lượng giác của góc nhọn)
suy ra
𝐵
𝐻
=
𝐴
𝐻
.
tan
𝐵
𝐴
𝐻
^
=
10.
tan
1
0
∘
BH=AH.tan
BAH
=10.tan10
∘
(m).
Xét
Δ
𝐴
𝐻
𝐶
ΔAHC vuông tại
𝐻
H, ta có:
tan
𝐶
𝐴
𝐻
^
=
𝐶
𝐻
𝐴
𝐻
tan
CAH
=
AH
CH
(tỉ số lượng giác của góc nhọn)
suy ra
𝐶
𝐻
=
𝐴
𝐻
.
tan
𝐶
𝐴
𝐻
^
=
10.
tan
5
5
∘
CH=AH.tan
CAH
=10.tan55
∘
(m).
Ta có:
𝐵
𝐶
=
𝐵
𝐻
+
𝐶
𝐻
=
10.
tan
1
0
∘
+
10.
tan
5
5
∘
≈
16
BC=BH+CH=10.tan10
∘
+10.tan55
∘
≈16 m.
Vậy chiều cao của tháp là
16
16 m
"Đổi
1
1 giờ
25
25 phút
=
17
12
=
12
17
giờ;
1
1 giờ
30
30 phút
=
3
2
=
2
3
giờ.
Gọi vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước lần lượt là
𝑥
x (km/h) và
𝑦
y (km/h). Điều kiện
𝑥
>
0
,
𝑦
>
0
,
𝑥
>
𝑦
x>0,y>0,x>y.
Trong lần 1
+) Vận tốc xuôi dòng là
𝑥
+
𝑦
x+y km/h, quãng đường xuôi dòng là
20
20 km nên thời gian xuôi dòng là
20
𝑥
+
𝑦
x+y
20
(giờ).
+) Vận tốc ngược dòng là
𝑥
−
𝑦
x−y km/h, quãng đường ngược dòng là
18
18 km nên thời gian ngược dòng là
18
𝑥
−
𝑦
x−y
18
(giờ).
Vì tổng thời gian xuôi dòng và ngược dòng hết
17
12
12
17
giờ nên ta có phương trình
20
𝑥
+
𝑦
+
18
𝑥
−
𝑦
=
17
12
x+y
20
+
x−y
18
=
12
17
(1)
Trong lần 2
+) Vận tốc xuôi dòng là
𝑥
+
𝑦
x+y (km/h), quãng đường xuôi dòng là
15
15 km nên thời gian xuôi dòng là
15
𝑥
+
𝑦
x+y
15
(giờ).
+) Vận tốc ngược dòng là
𝑥
−
𝑦
(
𝑘
𝑚
/
ℎ
)
x−y(km/h), quãng đường ngược dòng là
24
24 km nên thời gian ngược dòng là
24
𝑥
−
𝑦
x−y
24
(giờ).
Vì tổng thời gian xuôi dòng và ngược dòng hết
3
2
2
3
giờ nên ta có phương trình
15
𝑥
+
𝑦
+
24
𝑥
−
𝑦
=
3
2
x+y
15
+
x−y
24
=
2
3
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
{
20
𝑥
+
𝑦
+
18
𝑥
−
𝑦
=
17
12
15
𝑥
+
𝑦
+
24
𝑥
−
𝑦
=
3
2
⎩
⎨
⎧
x+y
20
+
x−y
18
=
12
17
x+y
15
+
x−y
24
=
2
3
{
60
𝑥
+
𝑦
+
54
𝑥
−
𝑦
=
17
4
60
𝑥
+
𝑦
+
96
𝑥
−
𝑦
=
7
4
⎩
⎨
⎧
x+y
60
+
x−y
54
=
4
17
x+y
60
+
x−y
96
=
4
7
{
60
𝑥
+
𝑦
+
54
𝑥
−
𝑦
=
17
4
42
𝑥
−
𝑦
=
7
4
⎩
⎨
⎧
x+y
60
+
x−y
54
=
4
17
x−y
42
=
4
7
Quy
30
𝑥
−
𝑦
=
24
{
x+y=30
x−y=24
Giải hệ trên, ta được:
{
𝑥
=
27
𝑦
=
3
{
x=27
y=3
(thỏa mãn điều kiện)."
Vậy vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước lần lượt là
27 km/h và
3 km/h.
"a. Rút gọn biểu thức
𝐴
A.
𝐴
=
(
𝑥
+
2
𝑥
−
5
𝑥
+
6
−
𝑥
+
3
2
−
𝑥
−
𝑥
+
2
𝑥
−
3
)
:
(
2
−
𝑥
𝑥
+
1
)
A=(
x−5
x
+6
x
+2
−
2−
x
x
+3
−
x
−3
x
+2
):(2−
x
+1
x
)
𝐴
=
(
𝑥
+
2
(
𝑥
−
2
)
(
𝑥
−
3
)
−
𝑥
+
3
2
−
𝑥
−
𝑥
+
2
𝑥
−
3
)
:
(
2
−
𝑥
𝑥
+
1
)
A=(
(
x
−2)(
x
−3)
x
+2
−
2−
x
x
+3
−
x
−3
x
+2
):(2−
x
+1
x
)
𝐴
=
(
𝑥
+
2
(
𝑥
−
2
)
(
𝑥
−
3
)
+
(
𝑥
+
3
)
(
𝑥
−
3
)
(
𝑥
−
2
)
(
𝑥
−
3
)
−
(
𝑥
+
2
)
(
𝑥
−
2
)
(
𝑥
−
3
)
(
𝑥
−
2
)
)
:
(
2
−
𝑥
𝑥
+
1
)
A=(
(
x
−2)(
x
−3)
x
+2
+
(
x
−2)(
x
−3)
(
x
+3)(
x
−3)
−
(
x
−3)(
x
−2)
(
x
+2)(
x
−2)
):(2−
x
+1
x
)
𝐴
=
𝑥
+
2
+
𝑥
−
9
−
𝑥
+
4
(
𝑥
−
2
)
(
𝑥
−
3
)
:
(
2
−
𝑥
𝑥
+
1
)
A=
(
x
−2)(
x
−3)
x
+2+x−9−x+4
:(2−
x
+1
x
)
𝐴
=
𝑥
−
3
(
𝑥
−
2
)
(
𝑥
−
3
)
:
𝑥
+
2
𝑥
+
1
A=
(
x
−2)(
x
−3)
x
−3
:
x
+1
x
+2
𝐴
=
1
𝑥
−
2
.
𝑥
+
1
𝑥
+
2
A=
x
−2
1
.
x
+2
x
+1
𝐴
=
𝑥
+
1
𝑥
−
4
A=
x−4
x
+1
.
b. Tìm các giá trị của x để
1
𝐴
≤
−
5
2
A
1
≤−
2
5
.
(ĐK:
𝑥
≥
0
,
𝑥
≠
4
,
𝑥
≠
9
x≥0,x
=4,x
=9)
Để
1
𝐴
≤
−
5
2
A
1
≤−
2
5
thì
𝑥
−
4
𝑥
+
1
≤
−
5
2
x
+1
x−4
≤−
2
5
2
𝑥
−
8
≤
−
5
𝑥
−
5
2x−8≤−5
x
−5
2
𝑥
+
5
𝑥
−
3
≤
0
2x+5
x
−3≤0
−
3
≤
𝑥
≤
1
2
−3≤
x
≤
2
1
0
≤
𝑥
≤
1
2
0≤
x
≤
2
1
0
≤
𝑥
≤
1
4
0≤x≤
4
1
.
Kết hợp với điều kiện ta được
0
≤
𝑥
≤
1
4
0≤x≤
4
1
thì
1
𝐴
≤
−
5
2
A
1
≤−
2
5
."
"a) Xét tam giác
𝐴
𝐵
𝐶
ABC có
𝐴
𝐵
=
𝐴
𝐶
AB=AC và
𝐴
𝑂
AO là đường phân giác của góc
𝐵
𝐴
𝐶
BAC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Do đó
𝐴
𝑂
AO cũng là đường cao, đường trung tuyến của
Δ
𝐵
𝐴
𝐶
ΔBAC.
Vậy
𝐴
𝑂
AO vuông góc với
𝐵
𝐶
BC.
b) Ta có
𝐵
𝐷
𝐶
^
=
1
2
𝐶
𝐵
⌢
BDC
=
2
1
CB
⌢
(góc nội tiếp)
𝐵
𝑂
𝐶
^
=
𝐶
𝐵
⌢
BOC
=
CB
⌢
(góc ở tâm)
Mặt khác
𝐵
𝐴
𝐶
^
=
1
2
𝐵
𝑂
𝐶
^
BAC
=
2
1
BOC
nên
𝐵
𝐴
𝐶
^
=
1
2
𝐶
𝐵
⌢
BAC
=
2
1
CB
⌢
.
Vậy
𝐵
𝐴
𝐶
^
=
𝐵
𝐷
𝐶
^
BAC
=
BDC
, suy ra
𝑂
𝐴
/
/
𝐶
𝐷
OA//CD (hai góc đồng vị bằng nhau).
c) Xét tam giác
𝐴
𝐵
𝑂
ABO và tam giác
𝐵
𝐾
𝑂
BKO có:
𝐴
𝐵
𝑂
^
=
𝐵
𝐾
𝑂
^
=
9
0
∘
ABO
=
BKO
=90
∘
𝐵
𝑂
𝐴
^
BOA
: góc chung
Suy ra
Δ
𝐴
𝐵
𝑂
∼
Δ
𝐵
𝐾
𝑂
ΔABO∼ΔBKO (g.g).
Do đó ta có tỉ số
𝐴
𝑂
𝐵
𝑂
=
𝐵
𝑂
𝐾
𝑂
BO
AO
=
KO
BO
hay
𝑂
𝐴
.
𝑂
𝐾
=
𝑂
𝐵
2
=
6
2
=
36
OA.OK=OB
2
=6
2
=36 (cm).
Xét tam giác vuông
𝐴
𝐵
𝑂
ABO có:
sin
𝐵
𝐴
𝑂
^
=
𝑂
𝐵
𝑂
𝐴
=
6
12
sin
BAO
=
OA
OB
=
12
6
.
Suy ra
𝐵
𝐴
𝑂
^
=
3
0
∘
BAO
=30
∘
A=
2−
3
.(
6
+
2
)
𝐴
=
2
.
(
2
−
3
)
+
6
.
(
2
−
3
)
A=
2
.(
2−
3
)+
6
.(
2−
3
)
𝐴
=
4
−
2
3
+
12
−
6
3
A=
4−2
3
+
12−6
3
𝐴
=
1
+
3
−
2
1.3
+
12
−
2.3
3
A=
1+3−2
1.3
+
12−2.3
3
𝐴
=
1
2
−
2
1.3
+
(
3
)
2
+
3
2
−
2.3
3
+
(
3
)
2
A=
1
2
−2
1.3
+(
3
)
2
+
3
2
−2.3
3
+(
3
)
2
𝐴
=
(
1
−
3
)
2
+
(
3
−
3
)
2
A=
(1−
3
)
2
+
(3−
3
)
2
𝐴
=
3
−
1
+
3
−
3
=
2
A=
3
−1+3−
3
=2.
"a) Xét đường tròn
(
𝑂
)
(O) có:
𝐴
𝐵
AB,
𝐴
𝐶
AC lần lượt là tiếp tuyến tại
𝐵
,
𝐶
B,C nên
𝐴
𝐵
=
𝐴
𝐶
AB=AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) .
Suy ra
𝐴
A thuộc đường trung trực của
𝐵
𝐶
BC.
Mà
𝑂
𝐵
=
𝑂
𝐶
=
𝑅
OB=OC=R nên
𝑂
O thuộc đường trung trực của
𝐵
𝐶
BC
Do đó
𝑂
𝐴
OA là đường trung trực của
𝐵
𝐶
BC nên
𝑂
𝐴
⊥
𝐵
𝐶
OA⊥ BC tại
𝐻
H.
b) Xét tam giác
𝐵
𝐸
𝐷
BED có
𝑂
𝐸
OE là trung tuyến. Mặt khác
𝑂
𝐸
=
𝐵
𝐷
2
OE=
2
BD
nên tam giác
𝐵
𝐸
𝐷
BED vuông tại
𝐸
E.
Xét
Δ
𝐴
𝐵
𝐸
ΔABE và
Δ
𝐴
𝐵
𝐷
ΔABD có
𝐵
𝐴
𝐷
^
BAD
: góc chung
𝐵
𝐸
𝐴
^
=
𝐷
𝐵
𝐴
^
=
9
0
∘
BEA
=
DBA
=90
∘
Suy ra
Δ
𝐴
𝐵
𝐸
∼
Δ
𝐴
𝐷
𝐵
ΔABE∼ΔADB (g.g)
Khi đó
𝐴
𝐵
𝐸
^
=
𝐴
𝐷
𝐵
^
ABE
=
ADB
(hai góc tương ứng)
và
𝐴
𝐵
𝐴
𝐷
=
𝐴
𝐸
𝐴
𝐵
AD
AB
=
AB
AE
hay
𝐴
𝐵
2
=
𝐴
𝐷
.
𝐴
𝐸
AB
2
=AD.AE (đpcm).
c) Xét tam giác vuông
𝐴
𝑂
𝐵
AOB có:
cos
𝐴
𝑂
𝐵
^
=
𝑂
𝐵
𝑂
𝐴
=
1
6
+
2
cos
AOB
=
OA
OB
=
6
+
2
1
.
Suy ra
𝐴
𝑂
𝐵
^
=
7
5
∘
AOB
=75
∘
. Do đó
𝐵
𝑂
𝐶
^
=
15
0
∘
BOC
=150
∘
.
Khi đó
𝐶
𝑂
𝐷
^
=
3
0
∘
COD
=30
∘
.
Diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính
𝑂
𝐶
OC,
𝑂
𝐷
OD và cung nhỏ
𝐶
𝐷
CD là:
𝑆
=
𝜋
𝑅
2
.
30
360
=
𝜋
𝑅
2
12
S=
360
πR
2
.30
=
12
πR
2
(đvdt).
Vậy diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính
𝑂
𝐶
OC,
𝑂
𝐷
OD và cung nhỏ
𝐶
𝐷
CD là
𝜋
𝑅
2
12
12
πR
2
(đvdt)."
Gọi
𝑥
x là số ti vi mà cửa hàng đặt mỗi lần (
𝑥
∈
[
1
;
2
500
]
x∈[1;2500], đơn vị cái).
Số lượng ti vi trung bình gửi trong kho là
𝑥
2
2
x
nên chi phí lưu kho tương ứng là
10.
𝑥
2
=
5
𝑥
10.
2
x
=5x
(
$
)
($)
Số lần đặt hàng mỗi năm là
2
500
𝑥
x
2500
và chi phí đặt hàng là:
2
500
𝑥
.
(
20
+
9
𝑥
)
x
2500
.(20+9x)
(
$
)
($)
Khi đó chi phí mà cửa hàng phải trả là:
𝐶
(
𝑥
)
=
2
500
𝑥
.
(
20
+
9
𝑥
)
+
5
𝑥
=
5
𝑥
+
50
000
𝑥
+
22
500
C(x)=
x
2500
.(20+9x)+5x=5x+
x
50000
+22500
Ta có
5
𝑥
+
50
000
𝑥
≤
2
5
𝑥
.
50
000
𝑥
=
1
000
5x+
x
50000
≤2
5x.
x
50000
=1000.
Suy ra
𝐶
(
𝑥
)
≤
23
500
C(x)≤23500. Dấu
"
=
"
"=" xảy ra khi
5
𝑥
=
50
000
𝑥
5x=
x
50000
, khi đó
𝑥
=
100
x=100.
Vậy mỗi năm, cửa hàng nên đặt
100
100 cái ti vi để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất.
"a)
Xét
Δ
𝐴
𝐵
𝐶
ΔABC vuông tại
𝐴
A, ta có:
sin
𝐵
^
=
𝐴
𝐶
𝐵
𝐶
=
12
320
=
3
80
sin
B
=
BC
AC
=
320
12
=
80
3
Suy ra
𝐵
^
≈
2
∘
9
′
B
≈2
∘
9
′
.
Vậy góc nghiêng là
2
∘
9
′
2
∘
9
′
.
b)
Xét
Δ
𝐴
𝐵
𝐶
ΔABC vuông tại
𝐴
A, ta có:
𝐵
𝐶
=
𝐴
𝐶
sin
𝐵
^
=
12
sin
5
∘
≈
137
,
7
BC=
sin
B
AC
=
sin5
∘
12
≈137,7 km.
Vậy phải bắt đầu cho máy bay hạ cánh khi cách sân bay
137
,
7
137,7 km."
"a. Rút gọn
𝑃
P.
𝑃
=
𝑥
𝑥
(
𝑥
−
1
)
+
2
𝑥
(
𝑥
+
2
)
+
𝑥
+
2
𝑥
(
𝑥
−
1
)
(
𝑥
+
2
)
P=
x
(
x
−1)
x
+
x
(
x
+2)
2
+
x
(
x
−1)(
x
+2)
x+2
=
𝑥
(
𝑥
+
2
)
+
2
(
𝑥
−
1
)
+
𝑥
+
2
𝑥
(
𝑥
−
1
)
(
𝑥
+
2
)
=
𝑥
𝑥
+
2
𝑥
+
2
𝑥
−
2
+
𝑥
+
2
𝑥
(
𝑥
−
1
)
(
𝑥
+
2
)
=
x
(
x
−1)(
x
+2)
x(
x
+2)+2(
x
−1)+x+2
=
x
(
x
−1)(
x
+2)
x
x
+2x+2
x
−2+x+2
=
𝑥
𝑥
+
2
𝑥
+
2
𝑥
+
𝑥
𝑥
(
𝑥
−
1
)
(
𝑥
+
2
)
=
𝑥
(
𝑥
+
1
)
(
𝑥
+
2
)
𝑥
(
𝑥
−
1
)
(
𝑥
+
2
)
=
𝑥
+
1
𝑥
−
1
=
x
(
x
−1)(
x
+2)
x
x
+2x+2
x
+x
=
x
(
x
−1)(
x
+2)
x
(
x
+1)(
x
+2)
=
x
−1
x
+1
.
b. Tính
𝑃
P khi
𝑥
=
3
+
2
2
x=3+2
2
.
Xét
𝑥
=
3
+
2
2
x=3+2
2
(thỏa mãn điều kiện)
𝑥
=
2
+
2
2
+
1
=
(
2
+
1
)
2
=
2
+
1
x
=
2+2
2
+1
=
(
2
+1)
2
=
2
+1.
Khi đó:
𝑃
=
𝑥
+
1
𝑥
−
1
=
2
+
1
+
1
2
+
1
−
1
=
2
+
2
2
=
1
+
2
P=
x
−1
x
+1
=
2
+1−1
2
+1+1
=
2
2
+2
=1+
2
."