ABCD là hình bình hành ⇒ AB = CD, AD = BC, Â = Ĉ.

E là trung điểm của AD ⇒ AE = AD/2

F là trung điểm của BC ⇒ CF = BC/2

Mà AD = BC (cmt) ⇒ AE = CF.

Xét ΔAEB và ΔCFD có: AB = CD, Â = Ĉ, AE = CF (cmt)

⇒ ΔAEB = ΔCFD (c.g.c)

⇒ EB = DF.

ΔABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G.

Suy ra G là trọng tâm của tam giác.

⇒ BG = 2/3 BM;GM = 1/3 BM (1)

Mà: PG=1/2BG=1/2.2/3BM=1/3BM(2)

Từ (1), (2) suy ra GM = PG

ta lại có CG = 2/3 CN;GN = 1/3 CN (3)

Mà: QG=1/2CG=1/2.2/3CN=1/3CN(4)

Từ (3), (4) suy ra GN = QG

Tứ giác PQMN có hai đường chéo QN và PM cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên tứ giác PQMN là hình bình hành

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, DC = AB, suy ra AE // DF, AE = 2AB = 2CD = DF.

⇒ AEFD là hình bình hành.

Tương tự, tứ giác ABFC có các cạnh đối song song và bằng nhau nên ABFC là hình bình hành.

b) Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường.

Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường.

Vậy ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

• Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD.

• AB // CD nên AM // CN suy ra góc OAM = góc OCN(hai góc so le trong).

Xét ∆OAM và ∆OCN có:

góc OAM = góc OCN (chứng minh trên)

OA = OC (chứng minh trên)

góc AOM = góc CON (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g)

Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN.

Suy ra BM = DN.

Xét tứ giác MBND có:

BM // DN (vì AB // CD)

BM = DN (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành.