Tập xác định của hàm số: $\mathbb{R}\setminus \{2\}$.

2. Sự biến thiên: Viết y=x+1+1x−2y=x+1+x−21​.

Ta có: y′=1−1(x−2)2=x2−4x+3(x−2)2y′=1−(x−2)21​=(x−2)2x2−4x+3​.

Vậy y′=0⇔x2−4x+3(x−2)2=0⇔x=1 hoặc x=3y′=0⇔(x−2)2x2−4x+3​=0⇔x=1 hoặc x=3.

Trên các khoảng $(-\infty ;1)$ và $(3;+\infty )$, y′>0y′>0 nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này.

Trên các khoảng $(1;2)$ và $(2;3)$, y′<0y′<0 nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này.

Hàm số đạt cực đại tại $x=1$ với yCĐ=1yCĐ​=1; hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$ với yCT=5yCT​=5.

lim⁡x→−∞y=lim⁡x→+∞x2−x−1x−2=lim⁡x→+∞x−1−1x1−2x=+∞x→−∞lim​y=x→+∞lim​x−2x2−x−1​=x→+∞lim​1−x2​x−1−x1​​=+∞.

Tiệm cận: lim⁡x→2y=lim⁡x→2(x+1+1x−2)=+∞x→2lim​y=x→2lim​(x+1+x−21​)=+∞.

lim⁡x→2[y−(x+1)]=lim⁡x→21x−2=+∞x→2lim​[y−(x+1)]=x→2lim​x−21​=+∞.

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=2$, tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x+1$.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm (0;12).(0;21​).

+) Ta có y=0⇔x2−x−1x−2y=0⇔x−2x2−x−1​

⇔x=1−52⇔x=21−5​​ hoặc x=1+52x=21+5​​.

Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm (1−52;0 )(21−5​​;0 ) và (1+52;0  )(21+5​​;0  ).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm $I(2;3)$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Tập xác định của hàm số $\mathbb{R}$ \ $\{2\}$.  

+) Ta có: y′=−3(x−2)2<0y′=−(x−2)23​<0 với mọi $x\ne 2$.

+) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$.

+) Hàm số không có cực trị.

+) Tiệm cận:

lim⁡x→2−y=lim⁡x→2−x+1x−2=−∞x→2−lim​y=x→2−lim​x−2x+1​=−∞

lim⁡x→2+y=lim⁡x→2+x+1x−2=+∞x→2+lim​y=x→2+lim​x−2x+1​=+∞

lim⁡x→+∞y=lim⁡x→+∞x+1x−2=1;x→+∞lim​y=x→+∞lim​x−2x+1​=1;

lim⁡x→−∞y=lim⁡x→−∞x+1x−2=1.x→−∞lim​y=x→−∞lim​x−2x+1​=1.

+) Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=2$, tiệm cận ngang là đường thẳng $y=1$.

3. Đồ thị:

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $\left(0;-1\right)$.

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm $(-1;0)$.

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm $I(2;1)$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.

$B)$

Tập xác định của hàm số $\mathbb{R}$ \ $\{1\}$.

2. Sự biến thiên:

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

 lim⁡x→−1−y=−∞,lim⁡x→−1+y=+∞. x→−1−lim​y=−∞,x→−1+lim​y=+∞.

Vậy $x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

 lim⁡x→+∞y=2,lim⁡x→−∞y=2. x→+∞lim​y=2,x→−∞lim​y=2.

Do đó, đường thẳng $y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

y′=−3(x−1)2< 0y′=(x−1)2−3​< 0 với mọi $x\ne 1.$

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$.

Hàm số không có cực trị.

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị với trục tung: $(0;-1)$.

Giao điểm của đồ thị với trục hoành: (−12;0)(−21​;0).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm $(0;-1)$, (−12;0)(−21​;0), $(-2;1)$, $(2;5)$, (52;4)(25​;4) và $(4;3)$.

.

A) Tập xác định của hàm số: $\mathbb{R}$.

+) Ta có: y′=−3x2+3y′=−3x2+3. Vậy y′=0y′=0 khi $x=-1$ hoặc $x=1$.

+) Bảng biến thiên:

 3) Đồ thị:

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $(0;1)$.

+) Ta thấy hàm số cắt trục tung tại $3$ điểm phân biệt.

+) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm $(0;1)$.

B)Tập xác định của hàm số: $\mathbb{R}$.  

 Giới hạn tại vô cực: lim⁡x→+∞y=+∞x→+∞lim​y=+∞

lim⁡x→−∞y=−∞x→−∞lim​y=−∞

y′=3x2−6x;y′=3x2−6x;

y′=0⇔3x2−6x=0⇔x=0y′=0⇔3x2−6x=0⇔x=0 hoặc $x=2$.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

3) Đồ thị:

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $(0;4)$.

+) Giao điểm của đồ thị với trục hoành: $(-1;0)$ và $(2;0)$.