Đặt 2n+1=k\(^{^{}2}\) , 3n+1=p\(^{^{}2}\)

Từ cách đặt trên chuyển về pt: x\(^{^{}2}\) - 6y\(^{^{}2}\) = 3 (1) với x=3k, y=p
Xét pt Pell (I): x\(^{^{}2}\) - 6y\(^{^{}2}\) = 1. Nghiệm nhỏ nhất: (a,b) = (5,2)
Gọi (x',y') là nghiệm nhỏ nhất của pt (1)
Ta có y'\(^{^{}2}\) \(\le\) max { nb\(^{^{}2}\), \(\frac{-na^2}{d}\) } = max {12, -12,5} = 12 (n=3, d=6)

-> y' \(\le\) 3 (do y' nguyên dương) -> y' \(\in\) {1,2,3}
Thử trực tiếp, dễ thấy (x',y') = (3,1) thoả mãn
-> Pt (1) có dãy nghiệm:
\(x_0\) = 3, \(y_0\) = 1, \(x_{m+1}\) = 5\(x_{m}\) + 12\(y_{m}\) , \(y_{m+1}\) = 2\(x_{m}\) + 5\(y_{m}\)

-> \(k_0\) =1, \(p_0\) =1, \(k_{m+1}\) = 5\(k_{m}\) + 4\(p_{m}\) , \(p_{m+1}\) = 6\(k_{m}\) + 5\(p_{m}\)

Biến đổi, ta chuyển dãy về thành dãy (\(t_{m}\) ) được xác định qua công thức truy hồi sau:

\(t_1\) = 40, \(t_{m+1}\) = 49\(t_{m}\) + 20 + 20\(\sqrt{6t_{m^{}}^2+5t_{m}+1}\) (m nguyên dương)

Khi đó (\(t_{m}\)) vét hết tất cả các giá trị của n để 2n+1 và 3n+1 là số chính phương
=> Với mỗi m bất kì, ta tìm được một giá trị n thoả mãn.