1. Phần 1: Phân phối khách vào các khách sạn

   Bài toán đầu tiên yêu cầu chứng minh số cách phân phối $n$ khách vào $r$ khách sạn với số lượng khách n1,n2,…,nrn_1, n_2, \dots, n_rn1​,n2​,…,nr​ (thỏa mãn n1+n2+⋯+nr=nn_1 + n_2 + \dots + n_r = nn1​+n2​+⋯+nr​=n) được cho bởi công thức:

   P=n!n1!n2!…nr!.P = \frac{n!}{n_1!n_2! \dots n_r!}.P=n1​!n2​!…nr​!n!​. Giải thích:
2. Bước 1: Xét $n$ khách như $n$ phần tử khác nhau. Để sắp xếp thứ tự toàn bộ $n$ khách, có tổng cộng $n!$ cách.
3. Bước 2: Trong đó, nhóm khách n1n_1n1​ đến khách sạn S1S_1S1​, nhóm n2n_2n2​ đến S2S_2S2​, và tương tự. Do trong mỗi nhóm, các khách hàng đều được coi là không phân biệt, nên ta phải chia cho n1!,n2!,…,nr!n_1!, n_2!, \dots, n_r!n1​!,n2​!,…,nr​! (tương ứng là số cách hoán vị của khách trong cùng một nhóm).
4. Kết luận: Do đó số cách phân phối là:
5. (4m)! chia heˆˊt cho 23m⋅3m.(4m)! \, \text{chia hết cho} \, 2^{3m} \cdot 3^m.(4m)!chia heˆˊt cho23m⋅3m. Chứng minh:

6. Số mũ của 2 trong $(4m)!$: Dùng công thức xác định số lần xuất hiện của một số nguyên tố $p$ trong $n!$ như sau:

   vp(n!)=⌊np⌋+⌊np2⌋+⌊np3⌋+…v_p(n!) = \left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^3} \right\rfloor + \dotsvp​(n!)=⌊pn​⌋+⌊p2n​⌋+⌊p3n​⌋+…

   Với $p=2$ và $n=4m$:

   v2((4m)!)=⌊4m2⌋+⌊4m22⌋+⌊4m23⌋+…v_2((4m)!) = \left\lfloor \frac{4m}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{4m}{2^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{4m}{2^3} \right\rfloor + \dotsv2​((4m)!)=⌊24m​⌋+⌊224m​⌋+⌊234m​⌋+…

   Nhận xét:

   • 4m2=2m\frac{4m}{2} = 2m24m​=2m,
   • 4m22=m,
   • Các số chia cao hơn 23,24,…2^3, 2^4, \dots23,24,… vẫn đóng góp thêm nhưng giảm dần.

   Do đó:

   v2((4m)!)>2m+m=3m.v_2((4m)!) > 2m + m = 3m.v2​((4m)!)>2m+m=3m.

   Vậy v2((4m)!)≥3mv_2((4m)!) \geq 3mv2​((4m)!)≥3m.

7. Số mũ của 3 trong $(4m)!$: Tương tự, với $p=3$:

   v3((4m)!)=⌊4m3⌋+⌊4m32⌋+⌊4m33⌋+…v_3((4m)!) = \left\lfloor \frac{4m}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{4m}{3^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{4m}{3^3} \right\rfloor + \dotsv3​((4m)!)=⌊34m​⌋+⌊324m​⌋+⌊334m​⌋+…

   Ta có:

   • 4m3≈1.33m\frac{4m}{3} \approx 1.33m34m​≈1.33m (phần nguyên là $m$),
   • Các bậc cao hơn giảm dần.

   Vậy v3((4m)!)≥mv_3((4m)!) \geq mv3​((4m)!)≥m.

8. Kết luận: Từ hai kết quả trên, ta có:

   • Số mũ của 2 trong $(4m)!$ là v2((4m)!)≥3mv_2((4m)!) \geq 3mv2​((4m)!)≥3m,
   • Số mũ của 3 trong $(4m)!$ là v3((4m)!)≥mv_3((4m)!) \geq mv3​((4m)!)≥m.

   Do đó, $(4m)!$ chia hết cho 23m⋅3m2^{3m} \cdot 3^m23m⋅3m.

9. P=n!n1!n2!…nr!.P = \frac{n!}{n_1!n_2! \dots n_r!}.P=n1​!n2​!…nr​!n!​. Phần 2: Chứng minh (4m)! chia heˆˊt cho 23m⋅3m(4m)! \, \text{chia hết cho} \, 2^{3m} \cdot 3^m(4m)!chia heˆˊt cho23m⋅3m

   Chúng ta cần chứng minh:

a) $\left(3x-2\right)\left(2x+1\right)=0$

   \(\left[{}\begin{matrix}3x-2=0\\2x+1=0\end{matrix}\right.\)  

     \(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{2}{3}\\x=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy: phương trình có 2 nghiệm x = \(\dfrac{2}{3}\) và x = \(-\dfrac{1}{2}\)

b/ \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y=4\\x+2y=-3\end{matrix}\right.\)

    \(\left\{{}\begin{matrix}4x-2y=8\\x+2y=-3\end{matrix}\right.\)

    \(\left\{{}\begin{matrix}5x=5\\x+2y=-3\end{matrix}\right.\)

    \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\1+2y=-3\end{matrix}\right.\)

    \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy: hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất (1; -1)

a/ Gọi a (tuổi) là số tuổi của bạn An (a ϵ N*)

    a ≥ 18

b/ Gọi m (kg) là khối lượng thang máy chở được:

   0 < m ≤ 700

c/ Gọi số tiền mua hàng là $x$ (triệu đồng), $x>0$.

Bất đẳng thức để mô tả bạn phải mua hàng có tổng trị giá ít nhất $1$ triệu đồng mới được giảm giá là $x\ge 1$.

d/ 2x - 3 > -7x + 2

    2x + 7x > 2 + 3

            9x > 5

              x > \(\dfrac{5}{9}\)

Vậy: tập nghiệm của bất phương trình là x > \(\dfrac{5}{9}\) 

       \(x^8-x^7+x^2-x+1>0\)

<=> \(x\left(x-1\right)\left(x^6+1\right)+1>0\)

<=> \(x\left(x-1\right)\left(x^6+1\right)>-1\)

<=>\(\left[{}\begin{matrix}x>-1\\x-1>-1\\x^6+1>-1\end{matrix}\right.\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x>-1\\x>0\\x^6>-2\end{matrix}\right.\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x>-1\\x>0\\x\in R\end{matrix}\right.\)

Xét từng trường hợp:

x > -1 (loại). Vì không thỏa mãn điều kiện.

x > 0 (loại). Vì không thỏa mãn điều kiện.

x ϵ R (nhận). Vì thỏa mãn điều kiện (đpcm)

A community helper I admire is a doctor. Physicians and surgeons diagnose and treat injuries or illnesses and address health maintenance. Physicians examine patients; take medical histories; prescribe medications; and order, perform, and interpret diagnostic tests. They often counsel patients on diet, hygiene, and preventive healthcare. I feel grateful for doctors because they help us grow and healthy every day.