Giả sử nếu \(n^2\) chẵn thì  n lẻ

Vậy n lẻ thì n có dạng n=2k+1 với kϵ\(ℕ\)

Ta có: \(n^2\)=\(\left(2k+1\right)^2\)=\(4k^2\)+4k+1=2(\(2k^2\)+2k)+1 lẻ (vô lý)

⇒ Trường hợp này loại

Vậy nếu \(n^2\) chẵn thì n chẵn

Ta có: \(4x^2\)+\(4y^2\)+6x+3 ≥ 4xy

⇔ \(x^2\)+\(3x^2\)+\(4y^2\)+6x+3-4xy ≥ 0

⇔ (\(x^2\)-4xy+\(4y^2\))+(\(3x^2\)+6x+3) ≥ 0

⇔ \(\left(x-2y\right)^2\)+3(\(x^2\)+2x+1) ≥ 0

⇔ \(\left(x-2y\right)^2\)+3\(\left(x+1\right)^2\) ≥ 0 (luôn đúng)

Do \(\left(x-2y\right)^2\) ≥ 0; \(\left(x+1\right)^2\) ≥ 0 ⇔ 3\(\left(x+1\right)^2\) ≥ 0

⇒ điều phải chứng minh

Vậy với mọi x,y ta có \(4x^2\)+\(4y^2\)+6x+3 ≥ 4xy

Nếu n chia hết cho 3 thì n có dạng n=3k với nϵ\(ℕ\)

Ta có: 

Xét k=2a ⇒ n=6a

Thay n=6a vào n(n+1) ta được: 6a(6a+1) ⋮ 6

Vậy với mọi số tự nhiên n, nếu n chia hết cho 3 thì n(n+1) chia hết cho 6

Nếu n chia hết cho 3 thì n có dạng n=3k với nϵ\(ℕ\)

Ta có: 

Xét k=2a ⇒ n=6a

Thay n=6a vào n(n+1) ta được: 6a(6a+1) ⋮ 6

Vậy với mọi số tự nhiên n, nếu n chia hết cho 3 thì n(n+1) chia hết cho 6

Nếu n chia hết cho 3 thì n có dạng n=3k với nϵ\(ℕ\)

Ta có: 

Xét k=2a ⇒ n=6a

Thay n=6a vào n(n+1) ta được: 6a(6a+1) ⋮ 6

Vậy với mọi số tự nhiên n, nếu n chia hết cho 3 thì n(n+1) chia hết cho 6

Nếu n chia hết cho 3 thì n có dạng n=3k với nϵ \(ℕ\)

Ta có: 

Xét k=2a ⇒ n=6a

Thay n=6a vào n(n+1) ta được: 6a(6a+1) ⋮ 6

Vậy với mọi số tự nhiên n, nếu n chia hết cho 3 thì n(n+1) chia hết cho 6

Nếu n chia hết cho 3 thì n có dạng n=3k với nϵ\(ℕ\)

Ta có: 

Xét k=2a ⇒ n=6a

Thay n=6a vào n(n+1) ta được: 6a(6a+1) ⋮ 6

Vậy với mọi số tự nhiên n, nếu n chia hết cho 3 thì n(n+1) chia hết cho 6

Nếu n chia hết cho 3 thì n có dạng n=3k với nϵ\(ℕ\)

Ta có: 

Xét k=2a ⇒ n=6a

Thay n=6a vào n(n+1) ta được: 6a(6a+1) ⋮ 6

Vậy với mọi số tự nhiên n, nếu n chia hết cho 3 thì n(n+1) chia hết cho 6

Nếu n chia hết cho 3 thì n có dạng n=3k với nϵ \(ℕ\)

Ta có: 

Xét k=2a ⇒ n=6a

Thay n=6a vào n(n+1) ta được: 6a(6a+1) ⋮ 6

Vậy với mọi số tự nhiên n, nếu n chia hết cho 3 thì n(n+1) chia hết cho 6