Bài 1:

Phương trình: \(x^{2} - 3 x - m^{2} - 3 = 0\)

Điều kiện bài toán yêu cầu phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(x_{1}\) và \(x_{2}\) sao cho \(\mid x_{1}^{2} + x_{2} \mid = x_{1} + 11\) và \(x_{1} > x_{2}\).

Bước 1: Xác định discriminant của phương trình để có 2 nghiệm phân biệt.

Phương trình có dạng \(x^{2} - 3 x - \left(\right. m^{2} + 3 \left.\right) = 0\), ta có thể xác định discriminant \(\Delta\):

\(\Delta = \left(\right. - 3 \left.\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. - \left(\right. m^{2} + 3 \left.\right) \left.\right) = 9 + 4 \left(\right. m^{2} + 3 \left.\right) = 9 + 4 m^{2} + 12 = 4 m^{2} + 21.\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần \(\Delta > 0\):

\(4 m^{2} + 21 > 0.\)

Điều này luôn đúng vì \(4 m^{2} + 21 > 0\) với mọi giá trị của \(m\).

Bước 2: Sử dụng điều kiện \(\mid x_{1}^{2} + x_{2} \mid = x_{1} + 11\).

Ta biết từ định lý Vi-ét rằng với phương trình bậc 2 có dạng \(a x^{2} + b x + c = 0\):

• Tổng của hai nghiệm: \(x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = 3\).
• Tích của hai nghiệm: \(x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = - \left(\right. m^{2} + 3 \left.\right)\).

Giờ ta xét điều kiện \(\mid x_{1}^{2} + x_{2} \mid = x_{1} + 11\):

\(\mid x_{1}^{2} + x_{2} \mid = x_{1} + 11.\)

Thử biến đổi biểu thức này:

\(\mid x_{1}^{2} + x_{2} \mid = \mid \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) x_{1} - x_{2} \mid = \mid 3 x_{1} - x_{2} \mid .\)

Điều này sẽ cho ta một phương trình có thể giải được với những bước tiếp theo.

Bài 2:

Phương trình: \(x_{1}^{2} + 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x + m^{2} + 4 = 0\)

Điều kiện bài toán: \(x_{1}^{2} + 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{2} = 28\).

Bước 1: Xác định nghiệm phương trình.

Ta có phương trình \(x_{1}^{2} + 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x + m^{2} + 4 = 0\). Ta sẽ áp dụng định lý Vi-ét cho phương trình này:

• Tổng của hai nghiệm: \(x_{1} + x_{2} = - \frac{2 \left(\right. m + 1 \left.\right)}{1} = - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right)\).
• Tích của hai nghiệm: \(x_{1} x_{2} = \frac{m^{2} + 4}{1} = m^{2} + 4\).

Bước 2: Dùng điều kiện \(x_{1}^{2} + 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{2} = 28\).

Ta đã biết từ định lý Vi-ét rằng:

\(x_{1} + x_{2} = - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) .\)

Vậy, ta có thể thay \(x_{2} = - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) - x_{1}\) vào điều kiện \(x_{1}^{2} + 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{2} = 28\). Sau khi thay giá trị này vào, ta có thể giải phương trình đối với \(m\).