Trong ΔABC có hai đường trung tuyến bằng nhau => ΔABC cân => AG là đường trung trực của ΔABC.

a) Xét ΔABC BD là trung tuyến nên BG = 2GD mà GD = DM => BG = GM 

   Xét ΔABC CE là trung tuyến nên CG = 2EG mà EG = EN => CG = GN

b) Xét ΔGMN và ΔGBC ta có: 

BG = GM (câu a)

CG = GN (câu a)

Góc BGC = góc NGM (đối đỉnh) 

=> ΔGMN = ΔGBC (c.g.c) 

=> MN = BC (hai cạnh tương ứng)

Vì ΔGMN = ΔGBC  ta có:

Góc NMB = góc MBC => MN // BC (so le trong) 

a) Xét ΔEFC ta có:

    EK là trung tuyến

    BF = 2BE

    BE = 2ED 

Trừ hai vế ta có:

     BF - BE = 2BE - 2ED 

   =>  EF = 2 BE - 2ED = 2ED

=> D là trung điểm của EF

=> CD là trung tuyến của ΔEFC

EK giao với CD tại điểm G nên G là trọng tâm tam giác EFC

b) Xét ΔEFC EK là trung tuyến, G là trọng tâm nên GE/GK = 2 (tính chất trung tuyến)

    GC/DC = 2/3 (tính chất trung tuyến)

a) Xét ΔABD ta có:

AE và BC là đường trung tuyến nên G là trọng tâm

=> A,G,E thẳng hàng.

b) Xét ΔABD điểm G là trọng tâm cho nên DG cũng là đường trung tuyến nên AM = BM.

a) Ta có ΔABC cân tại A => AB = AC =>  1/2 AB = 1/2  AC suy ra BE = CD

Xét ΔEBC và ΔBCD ta có:

BE = CD

Góc EBC = góc DCB (gt)

BC là cạnh chung

ΔEBC =  ΔDCB (c.g.c)

=> BD = CE (hai cạnh tương ứng)

b) Từ câu a BD = CE => 2/3BD = 2/3CE => BG = CG

=> ΔGBC là tam giác cân

c) Xét ΔGBC ta có

GB + GC > BC 

1/2GB + 1/2 GC > 1/2BC

=> GD + GE > 1/2BC 

Xét ΔGBC ta có:

BG + CG > BC 

=> 1/2BG + 1/2CG > 1/2BC  

=> ( BG + 1/2BG ) +  (CG + 1/2CG) > BC + 1/2BC

=> BM + CN > 3/2 BC

a) Xét ΔBAD và ΔBFD ta có:

Góc ABD = góc FBD (phân giác)

BD là cạnh chung

AB = BF (gt) 

Vậy ΔBAD = ΔBFD bằng nhau (c.g.c)

b) ΔBDE cân tại B

Góc B = (180 - 100) : 2 = 40 độ 

Góc DBE = 20 độ (phân giác)

Vì ΔBDE là tam giác cân nên góc D = góc E = (180 - 20) : 2 = 80 độ

Từ câu a góc F₁ = góc A = 100 độ 

Suy ra F₂ = 180 - 100 = 80 độ (kề bù)

Vậy ΔDEF cân tại B (hai góc đáy bằng nhau)

Gọi x,y,z lần lượt là số máy cày của ba đội.

Ta có: x.5 = y.6 = z.8

y - z = 5

y = 5 + z

6(5 + z) = 8z

30 + 6z = 8z

2z = 30

z = 15

y = 20

5x = 20 . 6 = 120 

x = 24

a) P(x) - Q(x) = x³ - 3x² + x + 1 - 2x³ + x² - 3x + 4 

= (x³ - 2x³) - (3x² - x²) - (3x - x) + (4 + 1)

= -x³ - 3x² - 2x + 5

b) Thay x = 1 vào đa thức ta có: 

P(x) = 1³ - 3.1² + 1 + 1 = 0 

Q(x) = 2.1³ - 1² + 3.1 - 4 = 0

Vậy x = 1 là nghiệm của cả hai đa thức P(x) và Q(x)

a) x = -11 . (-4) : 2 = 22

b) (15 - x) . 5 = (x + 9) . 3

 75 - 5x = 3x + 27

8x = 48

x = 6