\(\frac{4}{3.5}+\frac{8}{5.9}+\frac{12}{9.15}+\cdots+\frac{32}{x\left(x+16\right)}=\frac{16}{25}\)

\(\rArr2.\left(\frac13-\frac15\right)+2.\left(\frac15-\frac19\right)+2.\left(\frac19-\frac{1}{15}\right)+\cdots+2\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+16}\right)=\frac{16}{25}\)

\(\rArr2\left(\frac13-\frac15+\frac15-\frac19+\frac19-\frac{1}{15}+\cdots+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+15}\right)=\frac{16}{25}\)

\(\rArr\frac13-\frac{1}{x+16}=\frac{8}{25}\)

\(\rArr\frac{1}{x+16}=\frac{1}{75}\)

\(\rArr x+16=75\)

\(\rArr x=75-16=59\)

Vậy \(x=59\) thỏa đề bài

\(\Delta^{\prime}=4+3.4=16\)

\(\rArr\sqrt{\Delta^{\prime}}=4>0\)

\(\rArr\left[\begin{array}{l}x=\frac{-b^{\prime}+\sqrt{\Delta^{\prime}}}{a}=\frac{-2+4}{3}=\frac23\\ x=\frac{-b^{\prime}-\sqrt{\Delta^{\prime}}}{a}=\frac{-2-4}{3}=-2\end{array}\right.\)

Vậy \(x\in\left\lbrace-2;\frac23\right\rbrace\)

Sửa lại đề bài:

\(\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+\cdots+\frac{1}{x\left(x+1\right)}=\frac{3}{10}\)

\(\frac13-\frac14+\frac14-\frac15+\frac15-\frac16+\frac16-\frac17+\cdots+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{3}{10}\)

\(\frac13-\frac{1}{x+1}=\frac{3}{10}\)

\(\frac{1}{x+1}=\frac13-\frac{3}{10}\)

\(\frac{1}{x+1}=\frac{1}{30}\)

\(x+1=30\)

\(x=29\)

Để bất phương trình cho có nghiệm đúng \(\forall x\in R\) khi và chỉ khi

\(\lrArr\begin{cases}m-1>0\\ \left(m-3\right)^2-16\left(m-1\right)<0\end{cases}\)

\(\lrArr\begin{cases}m>1\\ m^2-22m+25<0\end{cases}\)

\(\lrArr\begin{cases}m>1\\ 11-4\sqrt6

\(\lrArr m>11-4\sqrt6\)

mà m nguyên và \(11-4\sqrt6\) gần bằng \(1,2\)

Nên m có vô số nghiệm nguyên sao cho \(m\ge2\)

Nửa chu vi HCN:

\(200:2=100\left(m\right)\)

Nửa chu vi hình vuông :

\(100+10=110\left(m\right)\)

Chiều dài HCN :

\(110:4=27,5\left(m\right)\)

Chiều rộng HCN :

'\(27,5-10=17,5\left(m\right)\)

Diện tích HCN :

\(27,5x17,5=481,25\left(m^2\right)\)

Đáp số...

Ta áp dụng định lý thales trong tam giác ABC

\(\text{Vì AE}\)//\(AC\) nên\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{CD}{CB}\)

Vì DF//AB nên \(\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{BD}{BC}\)

Khi đó \(\dfrac{AE}{AB}+\dfrac{AF}{AC}\)=\(\dfrac{CD}{CB}+\dfrac{BD}{BC}\)=\(\dfrac{CD+BD}{BC}=\dfrac{BC}{BC}=1\)

\(2024+202,4+20,24\cdot43+0,2024\cdot3700\)

\(=2024+\frac{2024}{10}+\frac{2024\cdot43}{100}+\frac{2024.3700}{10000}\)

\(=2024\left(1+\frac{1}{10}+\frac{43}{100}+\frac{37}{100}\right)\)

\(=2024\left(1+\frac{1}{10}+\frac{80}{100}\right)=2024\left(\frac{100+10+80}{100}\right)\)

\(=2024\cdot\frac{190}{100}=1012\cdot\frac{19}{5}=\frac{19228}{5}=3845,6\)

Chiều cao hình tam giác :

\(20:\frac53=20x\frac35=12\left(\operatorname{cm}\right)\)

Diện tích hình tam giác là :

\(\frac12x20x12=120\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Đáp số \(120\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Sửa lại đề bài \(S=\frac{7}{3.13}+\frac{7}{13.23}+\frac{7}{23.33}+\frac{7}{33.43}+\cdots+\frac{7}{53.63}\)

Theo đề bài ta có phân số quy luật sau

\(\frac{7}{\left(10n-7\right)\left(10n+3\right)}\left(n=1\rarr6\right)\)

\(=\frac{7}{10}\left(\frac{1}{10n-7}-\frac{1}{10n+3}\right)\)

\(\rArr S=\frac{7}{10}\left(\frac13-\frac{1}{13}+\frac{1}{13}-\frac{1}{23}+\frac{1}{23}-\frac{1}{33}+\frac{1}{33}-\frac{1}{43}+\frac{1}{43}-\frac{1}{53}+\frac{1}{53}-\frac{1}{63}\right)\) \(\rArr S=\frac{7}{10}\left(\frac13-\frac{1}{63}\right)=\frac{7}{10}.\frac{20}{63}=\frac29\)

Vậy \(S=\frac29\)