do a,b<1 => a^3<a^2<a<1 ; b^3<b^2<b<1 ; ta có :

(1-a^2)(1-b) => 1+a^2b>a^2+b

=> 1+a^2b>a^3+b^3 hay a^3+b^3 <1+a^2b

Tương tự : b^3+c^3 < 1+b^2;c^3+a^3<1+c^2a

=> 2a^3+2b^3+2c^3<3+a^2b+b^2c+c^2a

Bất đẳng thức tương đương với:

\(\left(\right. �^{2} � + �^{2} � + �^{2} � \left.\right) \left(\right. 2 + \frac{1}{�^{2} �^{2} �^{2}} \left.\right) \geq 9\)

\(\Leftrightarrow 2 \left(\right. �^{2} � + �^{2} � + �^{2} � \left.\right) + \left(\right. \frac{1}{� �^{2}} + \frac{1}{� �^{2}} + \frac{1}{� �^{2}} \left.\right) \geq 9\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho bộ 3 số ta có:

\(�^{2} � + �^{2} � + \frac{1}{� �^{2}} \geq \sqrt[3]{�^{2} � . �^{2} � . \frac{1}{� �^{2}}} = 3 �\)

\(�^{2} � + �^{2} � + \frac{1}{� �^{2}} \geq \sqrt[3]{�^{2} � . �^{2} � . \frac{1}{� �^{2}}} = 3 �\)

\(�^{2} � + �^{2} � + \frac{1}{� �^{2}} \geq \sqrt[3]{�^{2} � . �^{2} � . \frac{1}{� �^{2}}} = 3 �\)

Ta có thể suy ra được

 \(2 \left(\right. �^{2} � + �^{2} � + �^{2} � \left.\right) + \left(\right. \frac{1}{� �^{2}} + \frac{1}{� �^{2}} + \frac{1}{� �^{2}} \left.\right) \geq 3 � + 3 � + 3 � = 9\)

\(\Leftrightarrow 2 \left(\right. �^{2} � + �^{2} � + �^{2} � \left.\right) + \left(\right. \frac{1}{� �^{2}} + \frac{1}{� �^{2}} + \frac{1}{� �^{2}} \left.\right) \geq 3 \left(\right. � + � + � \left.\right) = 9\)

Vậy bài toán đã được chứng minh

2a+3>=2b+4

=>2a+3-4>=2b+4-4

=>2a-1>=2b

mà 2a+1>2a-1(1>-1)

nên 2a+1>2b