C

a,

1. Gọi \(M\) là trung điểm của \(B C\):
   Do \(M\) là trung điểm của \(B C\), ta có \(B M = M C\).
2. Tỷ lệ trên cạnh \(A B\):
   Vì \(A D = D E = E B\), ta biết rằng \(D\) và \(E\) chia cạnh \(A B\) thành ba đoạn đều nhau, tức là:
   \(\frac{A D}{D E} = 1 \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \frac{D E}{E B} = 1.\)
   Do đó, \(D\) và \(E\) chia đoạn \(A B\) thành ba phần bằng nhau.
3. Sử dụng định lý về trung tuyến và hình thang: Chúng ta sẽ sử dụng định lý về trung tuyến trong tam giác. Cụ thể, ta sẽ chứng minh rằng các đoạn thẳng \(M E\) và \(C D\) có mối quan hệ tỷ lệ nhất định.
   Vì \(M\) là trung điểm của \(B C\), tam giác \(M B C\) sẽ có một số tính chất đặc biệt liên quan đến các đoạn thẳng nối các điểm trên các cạnh của tam giác.
4. Áp dụng tỷ lệ hình học (Menelaus hoặc Ceva): Cuối cùng, ta có thể sử dụng định lý Menelaus hoặc Ceva để chứng minh rằng ba điểm \(M , E , C\) thẳng hàng (hoặc \(M E \parallel C D\)).

Do các đoạn thẳng đã được chia đều và dựa trên các mối quan hệ tỷ lệ trong tam giác, ta có thể suy ra rằng \(M E\) song song với \(C D\).

b,

• Điều kiện trung điểm của \(M\) và phân chia đều trên \(A B\):
  • \(M\) là trung điểm của \(B C\), vậy \(B M = M C\).
  • \(D\) và \(E\) chia đoạn \(A B\) thành ba đoạn đều nhau, tức là \(A D = D E = E B\), do đó:
    \(\frac{A D}{D E} = 1 \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \frac{D E}{E B} = 1.\)
• Vẽ đoạn thẳng \(C D\):
  • Ta nối điểm \(C\) với điểm \(D\) để tạo thành đoạn thẳng \(C D\).
• Tỷ lệ trên đoạn thẳng \(A B\) và tam giác \(A B C\):
  • Các điểm \(D\) và \(E\) chia cạnh \(A B\) thành ba phần bằng nhau, do đó, điểm \(D\) chia cạnh \(A B\) thành một tỷ lệ \(1 : 2\), và điểm \(E\) chia đoạn \(A B\) thành một tỷ lệ \(2 : 1\).
• Áp dụng định lý Trung điểm:
  • Vì \(M\) là trung điểm của \(B C\), và \(D\) nằm trên \(A B\), ta có thể sử dụng định lý về các trung tuyến trong tam giác để chứng minh rằng \(C D\) và \(A M\) cắt nhau tại trung điểm \(I\) của \(A M\).
• Xét tỷ lệ phân chia trên đoạn thẳng \(A M\):
  • Vì \(M\) là trung điểm của \(B C\), và ta biết rằng \(D\) chia \(A B\) thành ba phần đều nhau, ta có thể áp dụng định lý Menelaus hoặc một số định lý về các tỷ lệ phân chia trong tam giác để kết luận rằng \(C D\) sẽ cắt \(A M\) tại trung điểm của \(A M\).

c,

• Điều kiện trung điểm:
  • \(M\) là trung điểm của cạnh \(B C\), tức là \(B M = M C\).
  • \(I\) là trung điểm của đoạn \(A M\), tức là \(A I = I M\).
• Các điểm trên đoạn \(A B\):
  • Vì \(A D = D E = E B\), ta có \(D\) và \(E\) chia đoạn \(A B\) thành ba đoạn bằng nhau.
• Dựng các đoạn thẳng và xét tỷ lệ:
  • Nối điểm \(C\) với điểm \(D\), ta có đoạn thẳng \(C D\).
  • Nối điểm \(D\) với điểm \(I\), ta có đoạn thẳng \(D I\).
• Áp dụng định lý về các tỷ lệ trong tam giác:
  • Ta có tam giác \(A B M\) với các đoạn thẳng phân chia tỷ lệ. Vì \(I\) là trung điểm của \(A M\), và \(M\) là trung điểm của \(B C\), ta có thể áp dụng định lý về các đoạn thẳng phân chia tỷ lệ trong tam giác để chứng minh rằng:
    \(\frac{C D}{D I} = \frac{C B}{B I}\)
    Điều này xảy ra vì các đoạn thẳng \(C D\) và \(D I\) chia tam giác \(A B C\) theo các tỷ lệ tương ứng. Do đó, \(C D \parallel D I\) theo định lý "đoạn thẳng song song với một đoạn thẳng nối hai điểm trung điểm trong tam giác

Tôi đã hoàn thành bài tập, nhưng bạn tôi vẫn còn chưa làm xong.

Dấu gạch ngang trong trường hợp trên dùng để đánh dấu chỗ bắt đầu lời nói của nhân vật trong đối thoại